柔性机械臂逆动力学问题的分析和求解

the Analysis and Solution for Inverse Dynamic Problems of Flexible Arms

　　双连杆柔性机械臂是柔性系统中最为典型的例子之一，在实践中，对其端点的运动实现精确的控制的最重要因素是控制算法的计算速度，复杂的控制算法难以实现。而逆动力学建模和控制是紧密相关的，通过逆动力学方法，得到一个比较精确的驱动力矩作为前馈，再施以适当的控制算法，以实现对机械臂的高速、高精度控制，则是一种具有实效的方法。
　　关于柔性臂控制的逆动力学方法的研究报道尚不多见，其中文献[1-5]对动力学方程解耦，即把动力学方程近似分解成一些相对简单的系统，从而得到逆动力学的表达式。Matsuno[6]通过对采用切线坐标系的动力学模型进行简化，得到了一种实时的逆动力学方法。Gofron等应用了驱动约束法[7]，把期望运动处理成非定常约束。Bayo在频域内进行了逆动力学求解[8]，[9]。Asada等提出了一种迭代求解的方法[10]。
　　在逆动力求解中常常会遇到求得的力矩不准，力矩振荡很大，求解烦琐等问题。因此，讨论逆动力学求解的特点和性质是非常重要的，并有助于采用合理的方式得到比较好的前馈力矩。

1 动力学和逆动力学模型

　　一般情况下，柔性机械臂的两根连杆横向弹性变形(弯曲)较小，则忽略机械臂的径向变形；假定关节及臂端负载均为集中质量，则忽略其大小。同时，暂不考虑电机转子的转动惯量和电机的阻尼。

<?XML:NAMESPACE PREFIX = V /><?XML:NAMESPACE PREFIX = O /><?XML:NAMESPACE PREFIX = W />

图1 双连杆柔性臂
Fig.1 Two-link flexible arm

图1是一双连杆柔性机械臂，两臂间关节电机质量为 ，上臂端部集中质量为 ，两连杆质量和抗弯刚度分别为 和 ， 和 ，两连杆的长度分别为 和 ， 和 为两关节电机提供的力矩。

　　连杆变形很小，对每根连杆建立一个运动坐标系，使得连杆在其中的相对运动很小。机械臂的整体运动则可由这两个动坐标系的方位角来描述。于是，在动力学模型中将有两类变量，一类是幅值很小但变化迅速的弹性坐标，另一类是变化范围较大的方位角。本文采用端点连线坐标系，即将连杆两端点的连线作为动坐标系的x轴（见图1）。描述整体运动的是两个角度 和 ，而连杆相对于动坐标系的运动则可视为简支梁的振动。这样，动力学模型刚度阵的弹性坐标互相不耦合，臂端的位置可由 和 确定，其期望运动形式（或数值解）：

　　　　　　　　 (1)

如采用其他形式的动坐标系，两杆的弹性坐标将耦合在一起，而且在逆动力学求解时，将不得不处理微分方程与代数方程组合的方程组。

　　对每个机械臂取两阶模态坐标来描述，应用拉格朗日方法得到动力学方程：

　　　　　　　　　　 (2)

式中。 为6×6质量阵； 为速度的二次项； 为6×6刚度阵； 为重力的广义力向量； 为驱动力矩的广义力向量； ，其中 和 、 和 分别是两个机械臂的一阶和二阶弹性坐标。

　　柔性臂系统的逆动力学问题，是指在已知期望末端操作器运动轨迹的情况下，结合逆运动学与动力学方程对关节力矩进行求解。如果直接进行逆动力学求解，即把式(1)代入动力学方程式(2)中，对方程中的弹性坐标和力矩进行求解，一般情况下，其数值解将很快发散。

　　表达系统运动状态的坐标可以看成有两部分组成：大范围的相对缓慢的运动（慢变）部分和小范围的振动（快变）部分。本文试图将这两部分分离，分别讨论它们的逆动力学特性，并以此来分析整体系统的逆动力学问题。

2 快变部分的逆动力学问题

　　首先，寻求两个关节力矩使端点保持不动，先不考虑大范围的运动。　　此时，重力只起了一个改变平衡点的作用，在方程中把与它相关的部分略去，在动力学方程(2)中令 ，得：

(3)

式中

在方程(3)中消去 和 得：

　　　　　　　　 (4)

式中：

， ，　　

， ， ，

， ， ，

， ， ，

，

对式(4)降阶：

　　　　　　　　 (5)

式中

其中，
I是四阶单位阵。方程(5)可化为下列形式：

　　　　　　 　　(6)

式中 。求出 的特征值分别为

式中 。

　　因 的特征值存在正实部，则方程(3)所表示的系统不稳定，其解发散，即双连杆柔性臂在这种情况下，其振动问题的精确逆动力学解是发散的。

的各特征值在复空间分布关于虚轴对称，必然会出现正实部，如选取更多阶模态函数离散时，会出现同样的情况。因此，选取更多阶模态函数离散时，其振动问题的逆动力学解是发散的。

如应用应用文献[10]中给出的迭代法进行逆动力学求解，当积分步长很小时，其解是发散的；当积分步长较大时，便可得到较好的结果。其原因是因为快变部分的逆动力学解发散，当步长较大时相当滤掉了快变部分，便可得到较好的结果。

3 慢变意义上的逆动力学<?XML:NAMESPACE PREFIX = O />

　　在进行慢变意义上的逆动力学求解时，应试图将弹性坐标中的振动部分滤掉，弹性坐标中不应含有振动部分，再结合期望的<?XML:NAMESPACE PREFIX = V /> 、 求得力矩。

　　如图1所示，机械臂的各参数：L1=0.87m， L2=0.77m， M1=1.9kg， M2=0.8kg， m1=12.75kg， m2=2.4kg， =602.5 ， =218 。期望运动轨迹：机械臂端点绕以(0.8， 0)为圆心，做半径为0.5m，以每周1s作匀速圆周运动。

　　由机械臂的动力学仿真结果可以看到，弹性坐标的一阶、二阶时间导数项振动幅值很大，但它们都在零值附近振动，即其慢变部分很小。因此，在式(2)中去掉弹性坐标的一阶、二阶时间导数项，相当于滤掉了弹性坐标中的振动部分，经过整理得到如下形式：

　　　　　　(7)

式中， 、 、 中含 、 及其一阶时间导数项。

将式(1)代入式(7)中，再对方程求解，可以得到弹性坐标和力矩，弹性坐标见图2（图中不含振动的曲线）。为了考察得到的力矩，将力矩代入动力学方程式(2)中，得到的各弹性坐标见图2（图中含振动的曲线），轨迹跟踪曲线、端点坐标与期望运动相比较的误差曲线分别见图3和图4。

含振动部分的弹性坐标

弹性坐标的慢变部分

图2 各弹性坐标
Fig.2 Elastic coordinates












图3 端点轨迹跟踪
Fig.3 Track following of the end point













图4 端点运动的x和y方向坐标误差
Fig.4 the errors of coordinates in x and y Directions for the end movement

　　 由图2中可以看出，由式(7)得到的弹性坐标（不含振动）与机械臂的动力学仿真得到的弹性坐标（含振动）的慢变部分十分相似，所以在式(2)中去掉弹性坐标的一阶、二阶时间导数项相当于滤掉了弹性坐标中的振动部分，说明这种方法是合理的。
由图3与图4给出的仿真结果可以看出，轨迹跟踪很好，由此可见，得到的力矩精度很高.

4 结束语

　　由图2可以看到，机械臂在运动过程中，其弹性坐标由两方面组成，一方面是振动部分（快变部分），另一方面是与载荷、惯性力有关的慢变部分。而弹性坐标速度、加速度的慢变部分很小，在逆动力学求解中将其略去是合理的，由式(7)得到了比较准确的弹性坐标慢变部分并非偶然。
由以上分析可以看出，对于柔性机械臂系统，振动部分的精确逆动力学解是发散的，进行逆动力学求解时，应滤掉振动部分，在慢变的意义上进行，才能得到比较好的前馈力矩。

参 考 文 献

[1] Xia J Z ，Manq C H. Real time estimation of elastic deformation for end-point tracking control of flexible two-link manipulators[J]. The Journal of Dynamic Systems， Measurement and Control， 1992， 115(3):385-393.
[2] Matsuno F， Sakawa Y.， Asano T， Quasi-static hybrid position/force control of a flexible manipulator[C]. Proceeding of the IEEE International Conference on Robotics and Automation， Sacramento， Publ by IEEE， 1991， 3:2838-2843.
[3] Matsuno F， Sakawa Y. Dynamic hybrid position/force control of a two degree-of-freedom flexible manipulator[J]. Journal of Robotic Systems， 1994， 11(5):355-366.
[4] Yoshikawa T. Dynamic hybrid position/force control of robot manipulators-description of hand constraints and calculation of joint driving force[J]. IEEE J RA， 1987， (3):386-392.
[5] Kwon D S， Book W J. An inverse dynamic method yielding flexible manipulator state trajectories[C]. Proceedings of the American Control Conference， San Diego， Publ by American Automatic Control Council， 1990， 27-37.
[6] Matsuno F. Modeling and quasi-static hybrid position/force control of constrained planar two-link flexible manipulators[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation， 1994， 10(5):287-297.
[7] Gofron M， Shabana A A. Control structure interaction in the nonlinear analysis of flexible mechanical systems[J]. Nonlinear Dynamics， 1993， (4):183-206.
[8] Bayo E， Moulin H. An efficient computation of the inverse dynamics of flexible manipulators in the time domain[C]. Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation， Scottsdale， Publ by IEEE， 1989， 710-715.
[9] Bayo E， Padadopoulos P， Stubbe J， et al.. Inverse dynamics and kinematics of multi-link elastic robots[J]. Int. J. Robotics Research， 1989， 8(6):49-62.
[10] Asada，H.， Ma，Z.D.， Tokumaru，H.. Inverse dynamics of flexible robot arms: modeling and computation for trajectory control. ASME Journal of Dynamic Systems， Measurement， and Control， 1990， 112: 117-185.