摘要：介绍灰色系统理论及其建模原理，利用珊溪水库雨量站40多年的实测降雨量资料建立灰色预测GM（1，1）模型，对干旱灾害进行预测，经残差、关联度检验等分析，模型精度较高，并对实测资料进行检验，效果较理想，为水库发电、供水提供必要的预测信息。
关键词：干旱 灰色预测 精度检验
引 言
灰色系统理论［1］是80年代初由我国著名学者邓聚龙教授提出的。它把一般系统论、信息论、控制论的观点和方法延伸到社会、经济、生态等抽象系统，并结合数学方法，发展成为一套解决信息不完备系统即灰色系统的理论和方法．它对未来的研究具有重要意义。应用该方法对各种自然灾害进行预测，是减轻灾害和作出科学决策的重要措施之一。本文以珊溪水库雨量站40年的实测年降雨量资料，用灰色系统理论GM（1，1）对未来干旱灾害进行预测。该文中干旱预测严格说是异常值预测，主要是干旱灾害出现时间的预测，即干旱出现的年份。
1 珊溪水库雨量的基本情况
珊溪水库雨量站于60年代设站，该站多年平均降雨量在1800mm左右，年最大降雨量为1990年2397mm；年最小为1976年的1169.8mm。根据本地区干灾害天气的实际情况及特点，本文以年降水量小于1400mm作为异常值指标进行分析计算、预测。
2 灰色系统模型的建立及其检验
灰色系统（Grey System）即指信息不完全、不充分的系统。灰色系统理论GM（1，1）代表1个变量的一阶微方方程，它既是一种动态的数学模型，又是一种连续的数学函数。其根据联度收敛原理、生成数、灰导数和灰微方程等论据和方法来建模。建模技巧是利用量化方法将杂乱无章的原始数据列，通过累加生成处理，使之变成有规律的原始数据列，利用生成后的数据列建模，在预测时再通过还原检验其误差。
2.1灰色预测模型建立
GM模型即灰色模型，其实质是对原始数据序列作为一次累加生成，使生成序列呈一定规律，并用典型曲线拟合，从而建立其数学模型。对已知原始数据序列X（0）｛｝（i＝1，2，…，n）首先进行一阶累加生成（即1－AG0）得新序数列为X（1）．
利用X（1）构成下述白化形式的微方方程：
其中a，u是待定系数，利用最小二乘法求解参数α、u；
式中
所以方程（1）的解为：
（其中k=1，2，3…，n）
然后将求得的参数回代模型进行精度检验。
本文GM（1，1）模型以1400mm的阈值进行建模预测，该系列中异常值在1400mm以下年份有1967、1971、1979、1986和1991年，其相应的X（0）和X（1）见表1
表1 模型预测计算分析表
|
K |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
年份 |
1967 |
1971 |
1979 |
1986 |
1991 |
|
|
7 |
11 |
19 |
26 |
31 |
|
|
7 |
18 |
37 |
63 |
94 |
|
|
7 |
20.3 |
38.1 |
62.0 |
94.1 |
|
相对误差（%） |
0 |
12.8 |
3 |
-1.60 |
0.11 |
根据表1，可知X01=｛7，11，19，26，31｝，作累加生成AGO时，X（K+1）1=｛7，18，37，63，94｝。因此：
因此
由此可知：α=-0.294192892；μ=9.357105995；μ/α=-31.80602336，代入（1）得：=38.80602337e0.294192892k-31.80602337 （其中 k=1，2，3…，n）
转贴于2.2 模型检验
灰色预测的检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。
2.2.1 残差检验
残差检验就是计算相对误差，对模型的回顾，以残差的大小来判断模型的好坏，残差的计算结果见表2，从表可以看出模型平均相对误差为7.6%，平均精度为92.4%，用于预测原点的精度为96.5%。其精度都较高，残差检验通过，该模型可用于预测。
表2 模型残差检验计算表
|
K |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
平均值 |
|
|
7 |
18 |
37 |
63 |
94 |
|
|
|
7 |
20.3 |
38.1 |
62.0 |
94.1 |
|
|
|
7 |
11 |
19 |
26 |
31 |
|
|
|
7 |
13.3 |
17.8 |
23.9 |
32.1 |
|
|
|
0 |
-2.3 |
1.2 |
2.1 |
-1.1 |
|
|
|
0 |
20.1 |
6.3 |
8.1 |
3.5 |
7.6 |
|
|
100 |
79.9 |
93.7 |
91.9 |
96.5 |
92.4 |
绝对误差序列： k=1，2，…，n
相对误差序列： k=1，2，3…n
2.2.2 关联度检验
关联度是用来定量描述各变化过程之间的差别。关联系数越大，说明预测值和实际值越接近。
关联度：
其中：
式中： 被称为分辨率，0&<&<1，一般取=0.5。
本例以X（1）作为参考项与作关联度分析，求得：
n（1）=1；n（2）=0.3333；n（3）=0.5111；n（4）=0.5349；n（5）=0.92
关联度
根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6是可以接受的，因此模型预测是可信的。
2.2.3 后验差检验
后验差检验是模型精度的等级标准作出合理的评价，按照精度检验C和P（小误差概率）两个指标进行评定，其等级标准如表三。表中的C为方差比，即C=S2/S1，其中S1为原始数据的方差，S2为残差的方差。P为小误差概率，其中。
表3 检验指标等级标准表
|
|
P |
C |
|
好 |
﹥0.95 |
﹤0.35 |
|
合格 |
﹥0.85 |
﹤0.50 |
|
勉强合格 |
﹥0.70 |
﹤0.65 |
|
不合格 |
≦0.70 |
≧0.65 |
本例中的方差比计算如下：
原始数据均值和方差：
残差均值和方差：
后检验差比值C=S2/S1=0.1699
小误差概率：
通过以上计算C=0.1699﹤0.35；所有的△（k）均小于6.4815，所以P=1﹥0.95；由此可见模型精度为最高一级的“好”
2.2.3 关联度检验
关联度是用来定量描述各变化过程之间的差别。关联系数越大，说明预测值和实际值越接近。
关联度：
其中：
式中： 被称为分辨率，0&<&<1，一般取=0.5。
以X（1）作为参考项与作关联度分析，求得：
n（1）=1；n（2）=0.3333；n（3）=0.5111；n（4）=0.5349；n（5）=0.92
关联度 =3.2993/5=0.65986
根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6是可以接受的，因此模型预测是可信的。
3 模型在预测中的应用
用不同的k值代入预测模型=38.80602337e0.294192892k-31.80602337进行预测。
K=5时， =137.13335；=137.13335-94=43.13335；43.1335-31（1991年的序号）=12.13335，即1991年+12.13335=2003年（预测到2003年将发生干旱）；实际上珊溪站在2003年实测的降雨量为1410mm，与模型预测相吻合。
K=6时， =194.9178；=194.9178-137.13335=57.78445；57.78448-43（2003年的序号）=14.78445，即：2003年+14.78445=2017.78年（预测到2017年~2018年将发生干旱）。
4 结语
灰色模型作为一种预测理论，已经在各行各业得到充分的应用。探索其在水文预测中的应用具有现实的意义。由于GM（1，1）模型要求数据较少，原理简单，计算量适中，结果精度较高等诸多优点。但是，在这里需要指出的是GM（1，1）适合于短期的预测，不能用于较长时间的预测，否则会产生较大的误差，为了对较长时间的趋势值进行预测，需要引入新的数据，这样可以确保预测的可靠性；另外原始序列本身规律的好坏，也将影响预测模型的预测能力。
参考文献
1 邓聚龙.灰色系统理论教程.武汉：华中理工大学出版社，1992