月径流序列的多层递阶预报研究

摘要：月径流序列是一类具有周期变化的非平稳时间序列. 本文根据其特点，建立了多层递阶预报模型，文中对此类非平稳时间序列的建模及预报方法进行了深入研究.

关键词：月径流序列 多层递阶预报 时变参数 非平稳序列

Research on the Multi-Layer Hierarchical Forecast of Monthly Runoff Series

Abstract　Monthly runoff series is a sort of non-stationary time sequence with periodicity. In this paper，according to their characteristics，a multi-layer hierarchical forecast model is established， and modelling and forecasting methods are thoroughly researched.

Keywords　monthly runoff series; multi-layer hierarchical forecast; time-varying parametric; non-stationary series

1　多层递阶预报的基本原理

1.1　后验残差一致小准则

　　令 Y_k-1={y(0)，y(1)，…，y(k-1)}，U_k={u(0)，u(1)，…，u(k)}为系统输入；l(k)为随机噪声；θ(k)是m维的参数向量，y(k)是系统输出，则

(1)

系统输出向前一步的预报公式是

(2)

　　一般的自适应算法仅能根据Y_k-1，U_k得到θ(k-1)的估计值(k-1)，若系统是快时变的，(k)与(k-1)将有较大差别. 为了减少预报误差，应设法求出θ(k)的估计值^*(k). 此时，

(3)

上式称为含有参数预报值的预报公式. 相应的预报残差为

(4)

式中ε(k｜^*(k))称为后验残差. 可以证明^［1］，对于任何的ε＞0，在适当条件下必有N＞0和δ＞0存在，使得当k≥N时，由算法所确定的(k)

(5)

恒满足

称此为后验残差一致小准则.
　　若　

则

(6)

　　多层递阶预报方法，就是采用式(5)或式(6)的算法，对时变参数进行预测，使估值序列{(k)}满足后验残差一致小准则.

1.2　 多层递阶建模与预报

　　多层递阶预报，是将动态系统预报分为时变参数预报与系统状态预报两部分. 其中参数预报包括时变参数跟踪估计以及对参数未来值进行预测.
　　1) 时变参数跟踪估计
　　时变系统不仅状态在变化，而且参数也在变化，多层递阶预报充分考虑了系统的这种时变特性. 由掌握的历史资料，按式(5)或式(6)进行参数跟踪估计，可得参数θ(k)的一系列估计值：(1)，(2)，…，(N)，N为资料长度.
　　2) 时变参数预测
　　对参数估计序列{(k)}，k=1，2，…，N，进行分析，寻找其变化规律，采用适当的数学方法建立时变参数的预报公式，进而可求得时变参数一系列的预测值^*(N+1)，^*(N+2)，…，^*(N+h)，h为预报步长. 常采用的时变参数预测方法有：定常增量法、常数因子法、分段周期法、周期增量法、多层自回归法等^［2］.
　　3) 系统状态预报
　　系统状态向前多步的预报公式为

(7)

式(7)中的^*(N+h)是用各种方法求得的时变参数预测值. 这种方法由于充分考虑了模型参数的时变性，使预报精度有所提高.

2　月径流序列的多层递阶预报

　　月径流序列是季节性的非平稳时间序列，具有更强的随机性和非平稳性，对此时间序列进行中长期预报有一定难度.

2.1　 数据预处理与建模

　　对月径流序列的季节性变化所引起的非平稳性，可进行中心化、标准化、季节性差分处理. 本文在对淮河某大型水库月径流序列预报时，进行了季节性差分：

式中：X_t为月径流序列；为差分算子，X_t=X_t-X_t-1;₁₂为月度差分算子，₁₂X_t=X_t-X_t-12. 现以新序列{u_t}作为多层递阶预报的建模序列. 经模型识别、参数估计、模型检验，得{u_t}序列的二阶自回归模型AR(2)为：

u_t=a₁(t)u_t-1+a₂(t)u_t-2+ε_t(8)

式中a₁(t)，a₂(t)为模型参数，已采用最小二乘法求得.

2.2　 时变参数估计

　　对于{u_t}的AR(2)模型可写成

y(k)=φ(k)^Tθ(k)+e(k)(9)
式中φ(k)=[u(k-1)，u(k-2)]^T
θ(k)=[a₁(k)，a₂(k)]

　　根据后验残差一致小准则，时变参数θ(k)的估值算法可按式(6)写成如下递推形式，称为θ(k)的跟踪公式.

(10)

按分量展开，即

i=1，2;k=2，3，…， k， …，N(11)

式中：(1)和₂(1)可采用原参数估计值. 按上述跟踪公式计算，可得₁(2)，₁(3)，…，₁(N)；₂(2)，₂(3)，…，₂(N)的估计值.

2.3　时变参数预测

　　根据月径流序列的特点，现采用如下方法建立时变参数预测公式.
　　1) 分段周期法. 月径流序列存在以年为周期的季节性变化，可按下式推求各月时变参数的预测值，即

(12)

式中：为第i个预报参数进行h步预报的参数预测值；h为预报步长，h=1，2，…，12;N为样本长度，M为样本资料年限.
　　2) 多层自回归方法. 对参数估值序列{_i(k)}建立自回归模型AR(2)：

　　若采用跟踪公式求得的变化不大，可用其平均值值，进而可求得参数估计值^*_i(k)，

(13)

(14)

若变化较大，可建立多层自回归模型，然后预报出
　　3) 周期增量法. 对于具有周期增量的序列，其参数估计公式为

其中: p满足h=pT+q， q＜T. 若p=0，T=1，h=q时，

(15)

式中：T为正整数；N为预报的起始时刻；h为预报步长；△α_i(j)为时变参数的估值增量.

3　应用实例

　　淮河某大型水库的月径流预报，采用了多层递阶预报方法. 在实际应用中进行了多种方法的对比研究，并针对月径流序列的特点，对模型及时变参数估计和预测进行了改进.
　　多层递阶预报方法的关键，在于时变参数的估计和预测. 为了探讨月径流序列预报模型参数的时变规律，对时变参数估计采用了跟踪公式法和直接参数估计法；时变参数预测采用了多层自回归方法、周期增量法、分段周期法.
　　鉴于月径流序列的模型参数时变性较强，不可直接采用时段平均值作为参数的预报值. 多层自回归方法中的高层自回归模型参数改用了参数估计方法；周期增量法考虑了相邻时段时变参数增量的变化，对外推预报时各时段增量△α_i(j)的计算进行了改进.
　　根据水库运行调度的需要，编制了两种预报调度方式的计算机程序：年度预报和逐月预报. 年度预报是在年底预报出下一年12个月的月径流量，为编制下年度的水库调度计划提供依据. 逐月预报是在年度预报的基础上，根据前期月径流的实测值，逐月递推预报出下一个月的月径流量，是实施水库优化调度的基础.

4　模型评定与检验

4.1　模型评定

　　模型评定是用建模序列进行模拟预报，根据预报误差评定模型的有效性.
　　设是第i年第j月的h步预报值，x_ij为相应时段的实测值；MSE(j，h)为第j月预报值的均方误差；S²_j为实测序列x_ij第j月的方差，则确定性系数R²(j，h)为

(16)

　　显然，确定性系数R²愈接近于1，模型精度愈高. 表1为淮河某大型水库月径流序列多层递阶预报的模型评定表.

表1　淮河某水库月径流序列多层递阶预报评定表

　　由表1可见，汛期6～8月的R²在0.70～0.89间，属乙等，其余月份的R²值均在0.90以上，属甲等. 说明模型评定精度尚好，所建立的预报模型是有效的.

4.2　模型检验

　　模型检验是用未参加建模的预留序列进行外推预报，以检验模型的预报精度和可靠性. 表2是淮河某大型水库月径流序列多层递阶预报模型的预报值与实测值对照表.

表2　淮河某水库多层递阶预报模型检验表(10⁶m³)

　由于径流变化的随机性，月径流预报作到完全准确是困难的，特别是水文序列出现丰枯交替或年内分配异常时. 尽管该模型对月径流序列进行了季节性差分处理，利用了以年为采样周期和以月为采样周期的相关信息，并对时变参数进行了预测，使月径流预报精度有所提高，但仍然未能完全克服统计模型的弱点. 就该水库的月径流序列而言，1988年以来也恰值水文序列丰枯交替时期. 从表2可知，非汛期的预报成果可以作为水库实施优化调度决策的依据，汛期6～8月的预报精度不够理想，有待进一步改进. 在运用该预报模型时，应注意收集面临时段的实时信息，根据客观情况进行必要的修正. 因本文程序设计有较好的交互式人机界面，可以使模型方法与客观环境条件及预报经验相结合，提高了预报精度，增强了优化调度决策的针对性和预见性.

参 考 文 献

［1］　韩志刚.多层递阶方法及其应用.北京：科学出版社，1989
［2］　贺北方，张金泉，刘正才.水库灌区优化调度与管理.郑州：黄河水利出版社，1996
［3］　贺北方，刘正才.多级模糊层次综合评价的数学模型与应用.系统工程理论与实践，1989，9(6)：1～6
［4］　贺北方，肖军.非平稳时间序列的季节性模型. 全国水文水资源科技信息成果论文集.北京：中国环境科学出版社，1996：39～43