摘要：4H型尾水管为大多数大中型电站所采用，为满足尾水管弯管段施工放样、模板制作、钢筋配置等方面的需要，保证尾水管的设计形状，必须对尾水管几何尺寸进行精确的计算，绘制尾水管单线图。在石泉、安康、安康联营水电站工作基础上，推导出一套既精确又简便的计算方法。本方法计算的关键是把垂直剖面的计算建立在水平剖面计算的基础上的，使垂直剖面与水平剖面对应，既满足施工放样要求，又简化了计算。
关键词：4H型尾水管 单线图计算
尾水管的作用是减少出口流速，恢复从水轮机转轮流出的流速水头。若尾水管边线形状不准确，将会影响水轮机的效率，因此在进行尾水管单线图计算时，应注意计算方法的准确性。水电站尾水管的型式是由水轮机制造厂根据水轮机的试验效果确定的，一般型式有4A、4C、4E、4H等类型。4H型尾水管为大多数大中型电站所采用，如三门峡、刘家峡、盐锅峡、丹江口、石泉、双牌、安康等电站。由于4H型尾水管以弯管段具有特殊的曲面形状，体形比较复杂，为满足尾水管弯管段放样、模板制作、钢筋配置等方面的需要，保证尾水管的设计形状，必须对尾水管几何尺寸进行精确的计算，绘制尾水管单线图。根据建国初期已建成的几个电站来看，计算工作量均比较大，且不便于应用。从目前已有的尾水管单线图计算方法的资料来看，有很多值得商榷的地方。我们在石泉、安康、安康联营水电站工作基础上，推导出一套既精确又简便的计算方法，并且将已将其程序化。
1. 4H型尾水管弯管段的几何形状
4H型尾水管几何形状以弯管段最为复杂，体形如图1所示，它是由圆环面(A)、斜圆锥面(B)、斜平面(C)、水平圆柱面(D)、垂直圆柱面(E)、立平面(F)及水平面(G)组成。各曲面关系分述如下：
圆环面(A)：是由以R1为半径的一段圆弧绕机组中心线旋转而成，其几何尺寸由R1、R4H1、R0确定，见图2(1-1)；
斜圆锥面(B)：各水平截面圆心轨迹为图2(1-1)中OK，半径为R0+ei，其几何尺寸是由R0和e０确定的；
斜平面(C)：此平面与圆环面(A)相割，与斜圆锥面(B)相切，底部与立平面(F)相交同一高程水平面上，见图2中(1-1)；
水平圆柱面(D)：是由圆心为O2及半径R2所决定的，见图2中(1-1)；
立平面(F)：该平面与垂直圆柱面(E)相切，与斜平面(C)相交，见图2中(1-1)、(2-2)；
垂直圆柱面(E)：其圆心轨迹为图2(1-1)所示kk′，其半径由R0和e０决定，见图2中(1-1)、(2-2)；
水平面(G)：是由圆环面(A)延续部分，与圆环面(A)相切，详见图2(1-1)、(2-2)。
图2 4H型尾水管弯段形状示意图
2. 尾水管单线图简便计算方法
4H型尾水管因厂房布置等原因，分为有偏角和无偏角尾水管。无偏角尾水管是指尾水管中心线与机组中心线重合，有偏角尾水管是指尾水管中心线与机组中心线不重合，存在一定的夹角。
2.1 无偏角4H型尾水管单线图计算原理
尾水管单线图计算包括水平剖面和垂直剖面的计算，计算内容如下：
2.1.1 水平剖面的计算
建立如图3所示的坐标系。
(1)斜圆锥面(B)的半径R3i的计算：
根据斜圆锥面(B)的特点可知，第i-i水平剖面与斜圆锥面(B)交线aibi的半径R3i为：
(当zi小于h1时) (2-1)
(zi＞h1时，垂直柱面(E)与i-i水平面相交)
式中：R0－尾水管肘管段进口半径；zi－第i水平面距xoy平面的距离；e0－斜圆锥面圆心与机组中心线最大偏距；ei－第i水平剖面与斜圆锥面交线圆弧aibi圆心距机组中心线的距离；R3i－第i水平剖面处斜圆锥面的半径。
(2)肘管段平面角θ的计算：
在图3(2-2)剖面中
(2-2)
式中：B－尾水管扩散段出口宽度；l0－尾水管弯管段的长度。
(3)水平剖面C(C′)点坐标的计算：
C点为斜平面(C)与圆环面(A)相交之点，只要求出水平剖面与斜平面(C)相交得到的直线方程和与圆环面(A)相交得到的圆弧方程，C点坐标即可确定。
①求第I剖面中biCi直线的方程：(见图3 i-i剖面)
设biCi直线方程为：
y = xtgθ＋bi (2－3)
ki点到该直线的距离为R3i，ki点坐标为(ei，0)，所以有：
(2－4)
②求圆弧CiCi的方程：
圆弧半径R4i为(如图3 I-I i-i剖面)
(2-5)
式中：R4H1－圆心O3至机组中心线的距离(如图3I-I剖面)；R1－圆环面(A)与通过圆心O径向垂直剖面交线圆弧的半径；h1－尾水管肘管段上部高度。
CiCi方程为：
x 2 + y 2 = R4i2
③求Ci(Ci′)点的坐标
只有当zi≤h1时圆环面(A)才与斜平面(C)相交，所以zi≤h1时Ci(xci，yci)座标为：
解得：
(2－6)
当zi＞h1时斜平面(C)已不与圆环面(A)相交，假定：
(2－7)
(4)求Ci点与圆心O点连线和正x轴方向的夹角βci：
(2－8)
当xci= 0时，βci= 0，βci在0°～180°范围内。
(5)b(b′)点坐标的计算
在第i水平剖面中(如图3中i-i剖面)，bi点为直线biki与biCi的交点，且biki垂直于bici，已知ki点坐标为(ei，0)
biki方程为：
(2－9)
联立(2－3)与(2－9)方程即可求得bi点座标(xbi，ybi)
(2－10)
(6)求a点的座标
①当zi≤υ时，水平剖面与斜圆锥面(B)、斜平面(C)和圆环面(A)相交，ai点坐标为：
(2－11)
②当zi＞υ时，水平剖面分别与斜圆锥面(B)(或垂直圆柱面(E))、水平圆柱面(D)，斜平面(C)和圆环面(A)相交。
水平柱面(D)与第i水平剖面交线aiai′方程为：
(2－12)
式中：u －圆柱面(D)圆心的x坐标，u =R2-R0；υ－圆柱面(D)圆心的y座标。
斜圆锥面(B)(垂直柱面(E))与i水平剖面交线方程为：
(x -ei)2+ y2 = R3i2 (2－13)
联立(2－12)和(2－13)方程求解，即可确定ai(xai，yai)点座标
(2－14)
如果ai点的x坐标xai大于bi点的x座标xbi(即xai＞xbi)，则水平柱面(D)已不与垂直柱面(E)相交，而与垂直平面(F)相交，那么bi点x、y座标皆为0。
即 (2－15)
而ai点的坐标为
(2－16)
(7)求ai、bi点与x轴负半轴方向的夹角αai、αbi
(2－17)
若xai，xbi为0，则αai=αbi=0，αai、αbi在0～180°范围内。至此水平剖面的形状已完全确定了。
2.1.2 垂直剖面的计算
垂直剖面的形式有两种，一是通过水轮机主轴呈放射状的径向垂直剖面(简称径向垂直剖面)；一种平行于x轴方向的平行垂直剖面(简称平行垂直剖面)。从工程来看平行垂直剖面没有什么意义且计算繁琐，我们这里指的垂直剖面是径向垂直剖面。
垂直剖面的计算是建立在水平剖面计算基础之上的，这可以使垂直剖面的计算大为简化。径向垂直剖面在不同部位切割尾水管所得垂直剖面的形状不同，从垂直剖面的形式大体可分为两类，下面对这两类垂直剖面分别计算。
(1)第一类垂直剖面
在没有计算第一类垂直剖面以前，首先作一条假定，径向垂直剖面与斜圆锥面的交线，从理论上讲应为椭圆曲线，但由于斜圆锥面锥顶很高且锥底偏心距相对锥高而言很小，故假设径向垂直剖面与斜圆锥面交线为直线。
第一类垂直剖面用O－Iai表示(0－Iai表示通过第Ⅰ水平剖面ai点的垂直剖面)，当zi≤υ不计算与此水平剖面对应的垂直剖面，因为此剖面的形状为已知。
图3 4H型尾水管单线图示意图
①当zi≤h1时：径向垂直剖面的形式如图3中0－Iai剖面所示，只要确定了d(i+j)(0≤j≤n-i)，该剖面的形式也就确定了。
0-Iai剖面的方程为：
y = xtg(π-αai)
d(i+j)为第Ⅰ个水平剖面aiai′线与0-Iai径向垂直剖面在水平面投影直线交点xy坐标的平方和之根。
(2－18)
(2－19)
式中：0 ≤j ≤ n -i，n －水平剖面个数。
②当zi＞h1时：垂直剖面的形式如图3中0－3a3所示，只要确定了Fi和d(i+j)该剖面也就确定了。
d(i+j)的计算方法与(2－18)、(2－19)相同，
Fi = di (2－20)
(2)第二类垂直剖面
第二类垂直剖面用O-Ici表示(表示通过第Ⅰ个水平剖面Ci点的径向垂直剖面)。
①当zi≤h1时：从图3中0－Ici剖面可以看出，只要确定了gi，Rgi和zei，该剖面也就确定了。
gi为第Ⅰ个水平剖面Ci点至圆心O点的距离即：
gi = R4i (2－21)
当βci≤180°-αβ时：αβ为z = h1水平剖面bi和原心O连线与x轴负方向的夹角。
Rgi为z = h1水平剖面biCi线与0-Ici垂直剖面在水平剖面的投影直线交点的xy座标平方和之根。
解得：
(2－22)
(2－23)
zei为水平柱面(D)、垂直平面(F)与0-Ici垂直平面交点的z坐标各曲面方程如下：
b(m)为z = h1水平剖面biCi直线y轴的截距，再用(2－3)式计算。
解得： (2－24)
当180°-αβ＜βci≤90°+θ时，Rg为z = h1平面中aibi弧与0-Ici面水平投影直线交点平方和之根。
解得： (2－25)
(2－26)
式中：R3m－垂直柱面(E)的半径，即R3m = R0 + e0；zei为水平柱面(b)，垂直柱面(E)和0-Ici垂直平面交点的z坐标。
各曲面方程如下：
解之得： (2－27)
②当zi＞h1时，垂直剖面为已知，不作计算。
2.2 有偏角α的4H型尾水管单线图的计算
由于布置上的要求，扩散段中心线往往与机组中心线有一偏距d，尾水管需要绕机组中心线一个角度α(见图4)。
有偏角尾水管单线图的计算与无偏角的计算基本相同，建立如图4所示的坐标系，只要求出D点的x、y方向的坐标坐标，以下的计算同无偏角的相同，在此不再赘述。
D点坐标为：
图4 有偏角α的4H型尾水管单线示意图
3. 结语
尾水管单线图计算的关键是垂直剖面，垂直剖面是与水平剖面对应的，其计算建立在水平剖面计算的基础上的，本计算方法已在安康水电站、安康联营电站等得到很好的应用，证明是简便可行的。该方法也非常适合程序化，我们早在1990年已经完成尾水管单线图的绘制程序。最近又采用本方法对喜河电站尾水管进行计算，收到良好效果。