一种多目标决策问题的模糊解法及在洪水调度中的应用

摘要：针对定性多目标决策问题，提出了一种利用模糊集理论来求解的方法。它先对目标及权重进行模糊化，然后通过模糊运算及反模糊化的过程得到各方案的评价值，进而进行多目标决策。文章最后通过对丰满水库实际洪水调度方案的多目标决策，表明了该方法的可行性和有效性，同时还具有简单、实用、直观的优点。

关键词：多目标决策 模糊逻辑 权重

　　多准则决策(包括多目标决策和多属性决策)是目前决策科学、系统工程、管理科学和运筹学等学科研究中十分重要、非常活跃的领域。它是从有限个待优选方案集{A₁， A₂，， A_n}中经过综合权衡各个目标(或属性)O_i∈O={O₁，O₂，…， O_m}(i=1，2，…m)后，对方案集排序并选出最满意方案。由于各个目标间的不可公度性与冲突性，一般要把各目标特征量转化为相对隶属度(或效用函数)，然后赋予各个目标相应权重，再作综合评价，从而确定最满意方案。其中一个突出而又艰难的问题就是权重的确定。权重一般是由决策者给出，但是，决策者往往很难或者根本无法确定各个目标权重的准确值；另一方面，决策者虽不能给出一个确定的权重，却能给出一个大致的范围，如“很重要”、“重要”、“不太重要”等；同时在目标变量中也存在一些定性目标，如“很差”、“较差”、“很好”等，对这些含有语言变量的多目标决策问题，本文给出了一个简单而有效的模糊求解方法。

1 多目标决策的模糊优选理论模型简介

　　首先简单介绍一下陈守煜提出的多目标决策模糊优选模型^[1]

　　设考虑的目标数为m，拟定的可行方案数为n，由n个决策方案组成的方案集A={A₁，A₂，… A_n}，其决策矩阵可表示为X=(X_ij)_m×n，其中X_ij是方案j(j=1，2，…，n)的第i(i=1，2，…，m)个定量目标值。为了增加目标可比性，需要对目标作归一化，对效益型(即目标值越大越好)和成本型(即目标值越小越好)目标，分别用公式(1)和式(2)转化成相对隶属度矩阵R=(r_ij)_m×n。

　　在式(1)和式(2)中，(符号∨和∧分别表示取大、取小运算)。

　　对方案的多目标决策问题，方案优选是一相对概念，据此可定义理想优方案G和理论劣方案B

　　式中，

　　显然，这里G=(1，1，…，1)_1×m，B=(0，0，…， 0)_1×m

由于目标冲突性，方案G和B一般是不存在的，为此方案的优选是选择一个最满意的方案A_j使之尽可能接近G而远离B。若设方案A_j隶属于G的相对隶属度为u_j则隶属于B的相对录属度为1-u_j，按模糊优选理论模型，可得方案A_j的相对优属度为

式中，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n。

　　若权值已知，通过上式即可求解u_j。

2 定性变量的描述及评价

　　我们看到对于定量的多目标决策问题(即目标和权重均为定量值)，上述模型可以很好地解决，但若含有定性目标，且权重不能确定时又怎么办呢?文献[2]是通过构建相及矩阵来计算定性目标的相对隶属度和权重的大小的；本文则利用模糊逻辑推理来进行求解。

　　一般，对于定性变量，我们可以通过一些语言变量进行描述，如“很差”、“差”、“较差”、“中”、“较好”、“好”、“很好”等（对于权重则称为“很不重要”、“不重要”、“不太重要”、“一般”、“比较重要”、“重要”、“很重要”等，分别用NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB代替)，这些语言变量又都可以用不同的模糊集来表示。这里用三角形隶属函数来表示一个模糊集：若以3个顶点在横轴上的坐标(A，B、C)表示一个三角形，其中B是相对隶属度最大的点(如图1所示)，则以上7个模糊集分别为(0，0，0.25)，(0，0.25，0.35)，(0.25，0.35，0.5)，(0.35，0.5，0.75)，(0.5，0.75，0.85)，(0.75，0.85，1.0)，(0.85，1.0，1.0)，其隶属函数如图2所示。于是各定性变量可记为(r1_ij，r2_ij，r3_ij)和(w1_i，w2_i，w3_i)(i=1，2，…，m;j=1，2，…，n)，其中，代表第j个方案中第i个定性目标的模糊数，指第i个目标权重的模糊数。

　　显然模糊评价的结果也是个模糊数，设为(f1_ij，f2_ij，f3_ij)，则

　　其中，表示模糊数的乘，由下式定义

其精确化输出u_ij可以是具有最大相对隶属度的点，即

于是某方案j的综合评价值为

3 定量变量的描述及评价

　　为了与定性变量协同计算，我们对定量值按以下步骤进行处理：

　　(1) 首先，按式(1)或(2)将各定量值转换成相对隶属度值R_ij

　　(2) 然后，利用各语言变量的隶属函数，求出R_ij对于某语言变量k的相对隶属度(R_ij)，其中为语言变量k的模糊集k∈{NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB}，写成三角形分量式是(a1^k_ij，a2^k_ij，a3^k_ij)，其隶属函数亦如图2所示。若设对于R_ij，隶属度不为零的模糊集个数为l，此时，R_ij也可看作一个定性值，它由l个模糊数乘以相对隶属度(R_ij)组成，即

　　其中，仅表示R_ij由l个模糊数组成，不具有任何运算功能。

　　例如，定量值0.4在“较差”中的相对隶属度(0.4)=0.67，在撝袛中的相对隶属度，则。设权重为，则由公式(5)、(9)，模糊评价的结果为

　　(3) 可由各模糊数按加权平均求出其精确输出值u_ij。

其中，f2^k_ij指方案j中的目标i在第k个模糊数中相对隶属度最大的点，与公式(6)相仿，f2^k_ij=w2_i·a2^k_ij，其它符号意义同前。

　　(4) 于是方案j的最终的综合评价值亦可由公式(8)给出。

4 算例

　　我们采用文献[4]中的算例，以丰满水库1991年7月28日的实际洪水调度为例，对生成的11种方案进行优选，各方案的目标值见表1。洪水调度考虑了3个防洪目标：(1)水库最高洪水位；(2)调洪末库水位；(3)弃水量。

　　现将权重以定性值给出，即(“一般”，“不重要”、“不太重要”)，用模糊数表示为，各语言变量的隶属函数见图2。

　　其中目标(1)、(3)为成本型，应用式(2)求r_ij；根据水库防洪规划，7月末库水位为262.44m，故目标(2)为中间型，按文献[3]求目标相对隶属度的公式为：

　　首先，利用式(2)和(12)对表1中的数据进行归一化处理，得到相对隶属度矩阵如下：

　　然后，求出R中各定量值对于各模糊集{NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB}的相对隶属度(R_ij)；第三，按公式(11)求出j方案中i目标的评价指标u_ij。最后，由公式(8)得到方案j的最终综合评价值v_j，v_j从大到小排列的顺序也就是方案的优选顺序。按上述方法得到v=(0.3500，0.4401，0.5777，0.7112，0.6748，0.6178，0.7037，0.7668，0.7782，0.7782，0.7874)，则优劣排序为(11，10，9，8…)，方案11为最满意方案，这与文献[4]中所得结论是一致的。

　　注意，虽然这里是以目标完全为定量值、权重均为定性值为例，但对于含有部分定性目标及定量权重的混合情况也是适用的，只要先将定量值按第3节中所述模糊化后就可用类似的方法与定性值一起处理了。

结语

　　在多目标决策问题中，常含有一些定性变量，如定性目标值或权重，本文就这类问题给出了一种利用模糊逻辑求解的方法。应该指出，虽然从理论上说，此方法亦适用于仅含定量值的多目标决策，但由于要对定量值进行模糊化处理，增加了计算量，故倘若问题中不含有定性变量，则应用模糊优选模型式(4)可以很好地求解。然而对含有定性变量的多目标决策问题，它不失为一种有效的方法。

参 考 文 献：

[1] 陈守煜.工程模糊集理论与应用 [M].北京：国防工业出版社，1998.

[2] 陈守煜.多阶段多目标决策系统模糊优选理论及其应用 [J].水利学报.1990，(1).

[3] 陈守煜.复杂水资源系统优化模糊识别理论与应用 [M].长春：吉林大学出版社，2002.

[4] 程春田，王本德.启发式与人机交互相结合的水库防洪模糊优化调度模型 [J].水利学报，1995，(11).

[5] Ronald R Yager， Lotfi A Zadeh. An Introduction to Fuzzy Logic App lications in Intelligent Systems [M]. Kluwer Academic Publishers， 1992.

[6] Lilybert L Machacha， Prabir Bhattacharya. A Fuzzy-logic-based A pproach to Project Selection [J]. IEEE TRANSACTIONS ON ENGINEERING MANAGEMENT， 2000， 47 (1).