本文是一篇土木工程论文，本文运用有限单元法结合常见的混杂蜂窝夹芯板的等效理论为混杂蜂窝夹芯板的稳定性计算分析提供了便利的工具。列出了相应的有限元列式，导出了几何刚度矩阵和屈曲特征值方程；基于三层混杂蜂窝夹芯板的具体算例，建立三维实体有限元模型进行特征值屈曲分析，并以此为标准对比分析各等效力学模型在稳定性问题上的精确性和有效性。
1 绪论
1.1 蜂窝夹芯板的研究背景
蜂窝材料起源于多孔固体[1]，由大量的多边形胞元依次排列而成，因其与蜂巢结构类似而得名。相比传统材料，蜂窝材料因自身胞元排列组合方式变化多端，具有重量轻，刚性好，可设计等优点，在航空，航天，建筑，医疗，航海，陆路运输等领域有着蓬勃的发展，在众多的多孔材料中蜂窝材料被认为是超轻质材料中前景最好的一种材料[2],[3]。尺寸参数、基体材料、相对密度和结构型式对蜂窝材料的性能有较大影响，蜂窝材料的主要尺寸参数包括：蜂窝芯胞元壁厚、胞元边长、夹芯厚度和相对密度等，蜂窝材料密度对其吸能特性影响较大；蜂窝参数如胞元边长、胞元壁厚度等与结构的整体刚度有关；蜂窝基体材料通常包括各种金属材料，比如最常见的铝合金，还包括橡胶、芳纶、木质等材料；结构型式的变化比如多层蜂窝结构，具有降低芯层厚度避免面外压缩失稳的优点，因此其在更大尺寸结构件上的应用具有优势[4]。
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蜂窝材料除了具有以上优点以外，另一个更重要、更广泛的的用途就是和面板组成蜂窝夹芯板，如图1.1所示。蜂窝夹芯板这种特殊结构形式使其和复合材料层合板结构相比，具有更高的比刚度，同时抗冲击、能量吸收率也高于复合材料层合板[5]。表1.1[6]即为Hexcel公司给出的蜂窝夹芯结构与金属板材相对刚度、相对强度对比情况。通常情况下面板受外载后容易发生弯曲，单独的芯层材料自身的刚度，强度都比较低，但是将面板和芯层接起来构成夹芯结构之后，它的刚度和强度就会提高。蜂窝夹芯这种结构形式与工字梁类似，面板相当于工字梁的上缘条和下缘条，由于中间蜂窝芯子的刚度强度比较弱，相当于工字梁中的腹板，蜂窝芯层连上下面板，所以上下面板的弯曲刚度增强，不易弯曲。不同的是，蜂窝夹芯结构的芯层遍布整个上下面板之间，提高了夹芯结构上下面板的局部稳定性[7]。
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1.2 蜂窝夹层结构的研究现状
20世纪七十年代以来，世界各地的工程师和学者就不断对蜂窝夹层结构的力学性能进和材料特性行研究和探索[8],[9]，研究方向主要有蜂窝夹层结构的等效计算模型、数值模拟、试验研究、破坏失稳模式等[10]。
1.2.1 蜂窝夹芯层板的等效理论研究
自蜂窝结构自被设计出来，国内科研工作者就对蜂窝夹芯的芯子细观结构及整个蜂窝夹层的整体结构力学特性进行了不断的探索研究，其研究范围包括了蜂窝夹层结构的理论分析、夹芯的细观结构理论分析、数值模拟、试验等。混杂蜂窝芯的夹芯板结构较为复杂，直接建立具有真实胞元结构的有限元模型进行分析，其工作量和计算量巨大，因此，需要进行必要的简化：把蜂窝芯一般等效成均质的正交各向异性夹层，在此基础上再对整个蜂窝夹芯板进行等效研究。早期解析方法最有代表性的是Allen[11]提出了一种被广泛应用的“反平面应变状态”，该模型的优点是将蜂窝芯层和蒙皮的作用分开独立出来，较大程度地简化了模型便于计算，缺点是软夹芯仅能抵抗横向切应力，忽略了其面内刚度和弯曲刚度，在一定条件下会导致较大误差。Gibson和Ashby[12]等采用将蜂窝棱壁考虑成Euler梁，该形式简洁，便于计算，在该基础上推导了经典的蜂窝芯等效弹性参数计算公式。富明慧[13]没有考虑胞壁的伸缩变形和剪切变形，在有限元程序中基于Gibson公式计算蜂窝夹芯的整体结构刚度阵时会发生奇异，并且对该公式进行了修正，然而还是忽略了胞壁的剪切变形。王颖坚[14]认为使用Gibson理论在推导面内剪切载荷作用下蜂窝结构的变形情况并不满足平衡条件，进而重新在面内剪切作用下建立起满足平衡条件的蜂窝变形模式。Warren[15]考虑了胞壁连接区域壁板的拉伸和弯曲变形，采用“Y”形代表单元对蜂窝单胞进行了表征；由其推导结果可以看出是在Gibson公式基础上加了一个修正项，从而避免了弹性矩阵的不确定性问题。赵金森[16]首次将正六边形夹芯各个力学参数在统一力学模型下推导，提出了Y型等效模型,并推导了夹芯的力学参数；首创能量法推导夹芯的三个面内力学参数。
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2 混杂蜂窝芯的夹芯板整体稳定性分析
2.1 概述
2.1.1 稳定性的概念
在轴向载荷或其他载荷作用的影响下工程结构或构件处于某种平衡状态，研究结构或构件平衡状态是否稳定的问题即稳定分析。对于处在平衡状态的结构体系，当结构受到的外力增加到某一程度时，若收到某一微小扰动后，结构的变形发生很大的变化，使结构失去正常承载能力，该情况称为失稳，此情况下受到的载荷称为临界失稳载荷。对于二维的板壳结构失稳，我们一般称之为屈曲，主要分为总体屈曲、局部屈曲、扭转屈曲、弯扭屈曲等。
一般物体的平衡状态具有3种形式[49]：稳定平衡状态、不稳定平衡状态及随遇平衡状态。为了容易理解稳定性概念用曲面上的小球来表示，如下图2.1示。
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如图(a)所示，若物体在平衡位置作一微小的偏离后，其仍能回到原来位置，则这种平衡状态称为稳定平衡；如图(c)所示，若物体在平衡位置微小偏离后，不能回到原来位置，则这种平衡状态称为不稳定平衡；如图(b)所示，若物体从稳定平衡状态向不稳定平衡状态过渡的一种中间状态称为随遇平衡状态。
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2.2 基于经典层合板理论混杂蜂窝夹芯板的稳定性分析
从复合材料结构力学[50]的观点来看夹芯层板是一种特殊形式的叠层板，为了简化模型，蜂窝夹芯可看作是一层具有一定横向刚度的叠层，整个夹层结构简化为当量层压板进行计算。本文研究的蜂窝夹层结构均为铝制，在形式上均为对称层合板，蒙皮和中间隔板为各向同性材料，蜂窝芯等效为各向异性夹层。
2.2.1基本假设
为简化混杂蜂窝芯的夹芯板的屈曲分析问题，做如下规定：
（1）混杂蜂窝夹芯板各组分之间粘接良好，可作为整体结构板，各组成成分之间变形连续。
（2）混杂蜂窝夹芯板厚度相对于面内方向的尺寸很小，可以作为薄板而忽略其厚度方向的主应力。
（3）混杂蜂窝芯的夹芯板等厚度。
基于上面的规定限制，给出如下假设：
（1）符合Kirchhoff直法线假设。即在层合板变形前，存在垂直于层合板中面的直线，层合板变形后视该直线段仍垂直于变形后的中垂面，而层合板的中面法线段长度保持不变。
（2）均为线弹性的材料，只分析经典层合板理论而不考虑层间应力和横向剪切效应。
（3）z方向上的正应力可以忽略不计，受面内力，为平面应力状态。
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3 混杂蜂窝芯的夹芯板的稳定性有限元分析 .................................. 23
3.1 混杂蜂窝芯的夹芯板等效理论描述 ................................ 23
3.1.1 蜂窝夹芯的等效参数 .................................. 23
3.1.2 一阶剪切层合板理论 ................................. 24
4 结构参数对混杂蜂窝夹芯板临界屈曲载荷的影响 ......................... 45
4.1 混杂蜂窝夹芯板与传统蜂窝夹芯板的稳定性比较 ...................... 45
4.2 结构参数对混杂蜂窝夹芯板临界屈曲载荷的影响 ......................... 51
结论 ..................... 58
4 结构参数对混杂蜂窝夹芯板临界屈曲载荷的影响
4.1 混杂蜂窝夹芯板与传统蜂窝夹芯板的稳定性比较
以三层混杂蜂窝芯的夹芯板为例，分别在轴向压缩、四边剪切及剪压比为1:1的复合荷载作用的工况下，进行特征值屈曲分析，在蜂窝夹芯组合选配后控制蜂窝芯层密度一致的条件下与单层普通蜂窝夹芯板进行结果对比分析。另外要说明的是，对于蜂窝夹芯板，其蒙皮主要承担拉弯作用，而中间隔板主要起到承接蜂窝夹芯的作用，为了与单层蜂窝夹芯板在厚度上保持一致，其外侧蒙皮应该相等，中间隔板厚度相对蒙皮来说很小。从整体上来看，三层混杂蜂窝夹芯板相较于单层蜂窝夹芯板仅多了2个中间切分芯层隔板。
蜂窝夹芯板的结构型式对其力学性能有一定的影响，合理地选择蜂窝夹芯板的结构型式能较好地提高其抵抗失稳的能力。蜂窝结构参数作为重要的结构参数，其对层合板力学性能影响的分析为混杂蜂窝夹芯板的设计提供帮助。由蜂窝夹芯等效参数公式（3.1）可知改变蜂窝胞元的壁厚、边长时，蜂窝夹芯等效材料参数会发生改变，进而影响蜂窝夹芯板的刚度。由公式(3.5)~(3.7)可知，改变蒙皮，蜂窝芯层的厚度时，会影响蜂窝夹芯板的刚度，除此之外，对于本文研究的混杂蜂窝芯的夹芯板，其蜂窝芯尺寸按比例考虑，应考虑蜂窝芯比例对蜂窝夹芯板力学性能的影响。本章以三层混杂蜂窝夹芯板为例，研究结构型式、蒙皮厚度、胞元壁厚、胞元边长、蜂窝夹芯厚度对混杂蜂窝夹芯板临界失稳载荷的影响。
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结论
本文主要对混杂蜂窝芯的夹芯板的稳定性进行系统的分析。 本文基于经典层合板理论推导了混杂蜂窝夹芯板的拉弯刚度，进而导出了混杂蜂窝夹芯板的屈曲方程，并给出了四边简支条件下的临界屈曲荷载解析计算公式；同时，在Reissner理论给出的位移模式基础上，考虑了芯层承受横向剪切作用，给出了三层混杂蜂窝夹芯板的几何方程、物理方程，建立了面内纵向载荷作用下的平衡微分方程，并对方程进行了简化，并给出四边简支条件下三层蜂窝夹芯板整体失稳临界载荷的解析解；最后，以三维有限元数值结果为参考对比、验证了解析方法的可靠性
本文运用有限单元法结合常见的混杂蜂窝夹芯板的等效理论为混杂蜂窝夹芯板的稳定性计算分析提供了便利的工具。列出了相应的有限元列式，导出了几何刚度矩阵和屈曲特征值方程；基于三层混杂蜂窝夹芯板的具体算例，建立三维实体有限元模型进行特征值屈曲分析，并以此为标准对比分析各等效力学模型在稳定性问题上的精确性和有效性。计算结果表明，各等效力学模型在混杂蜂窝夹芯板稳定性问题上计算结果相差不大，都较好地还原了混杂蜂窝夹芯板的屈曲特性，精度完全满足一般工程要求。
本章选用等效理论结合有限单元法对各计算模型特征值屈曲分析，以三层混杂蜂窝夹芯板为例，对比分析了混杂蜂窝夹芯板与传统蜂窝夹芯板的稳定性，并探究了结构参数对混杂蜂窝夹芯板临界失稳载荷的影响。在不同工况和芯层密度一致的条件下，对比分析了三层混杂蜂窝夹芯板和普通单层蜂窝夹芯板，结果表明，在质量大致相同的前提下，三层混杂蜂窝芯的夹芯板抵抗失稳的能力是要强于普通单层蜂窝夹芯板，混杂蜂窝夹芯板这种结构型式具有优于传统蜂窝夹芯板的潜力，具有潜在的应用前景和价值。接着初步探究了蒙皮厚度、蜂窝芯层厚度、蜂窝胞元壁厚和胞元边长对混杂蜂窝夹芯板临界屈曲载荷的影响，结果显示：失稳临界载荷随蒙皮厚度的增大而增大，且增长趋势大致呈线性增关系；中间大尺寸蜂窝芯层的占比越大，对于整个夹芯板抵抗屈曲的能力越弱；胞元壁厚的改变对于蜂窝芯的夹芯板轴压失稳载荷的敏感性较小；夹芯蜂窝胞元边长越大的蜂窝夹芯板抵抗屈曲的能力弱。
参考文献（略）