1 绪论
1.1 研究背景及意义
现代科技的进步和工业的高速发展通常要求产品具有轻质和高性能的特点，这就需要对产品结构进行优化设计，以提升结构的性能。结构优化主要可以分为三个分支[1]：尺寸优化（Size Optimization）、形状优化（Shape Optimization）和拓扑优化（Topology Optimization），如图 1-1 所示。尺寸优化属于结构的详细设计阶段，进行尺寸优化的结构形状、拓扑不发生改变，通过不断调整截面尺寸、截面厚度、截面宽度等参数得到性能更优的结构；形状优化属于结构的基本设计阶段，进行形状优化的结构拓扑不发生改变，通过不断寻找结构边界最优构型得到性能更优的结构；拓扑优化属于结构的概念设计阶段，主要通过设计结构内孔洞的位置、孔洞的数量、孔洞的有无，寻找结构最优的拓扑构型，以提升结构性能。在结构模型的拓扑优化阶段，模型的几何信息与拓扑信息是未知的，设计具有更大的自由度，但这也导致拓扑优化设计较为复杂[2]。
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1.2 拓扑优化理论国内外研究现状
1.2.1 经典拓扑优化方法
最早的经典拓扑优化方法可以追溯到 Bendsøe 和 Kikuchi 于 1988 年提出的均匀化方法,其采用均匀化方法成功对连续体结构进行了优化设计分析，但存在计算量大、设计复杂等问题。为了改善均匀化方法在设计中存在的缺陷，众多学者对拓扑优化方法进行了进一步的研究，提出固体各向同性材料惩罚法[11,12]（Solid Isotropic Microstructures withPenalization，SIMP）、进化结构法[13]（Evolutionary Structural Optimization，ESO）、水平集法[14-16]（Level Set Method，LSM）、可移动变形组件法[17-19]（Moving Morphable Components，MMC）等优化方法。
（1）均匀化方法
在 20 世纪 70 年代，均匀化理论在材料科学领域被提出，用来评价复合材料的等效性能。在 1988 年 Bendsøe 和 Kikuchi 将均匀化方法用于结构的拓扑优化，其基本思想是假设宏观整体结构由不同的微结构组成，优化微结构的形状得到最优化的结构性能。在此之后不断有人对均匀化方法进行了完善，Guedes[20]等人使用自适应有限元方法提高有限元逼近的准确性，Bendsøe[21]提出多载荷工况下弹性结构优化公式，Diaz[22]将其用于三维结构的材料最优分布问题，Allaire[23]等人采用均匀化方法对结构最小应力问题进行了研究讨论。
均匀化方法主要通过参数化微结构设计材料的最优分布，有严谨的数学证明，理论上能够找到最优解，但该方法也存在很大不足，其设计变量庞大，灵敏度分析繁琐，时间成本很高，在实际应用中较少。
（2）SIMP 法
针对均匀化方法的固有缺点，Sigmund 等[11,12]对其进行了改进，提出了变密度法，主要思想是通过引入伪密度的概念，极大的简化计算量，大幅提升了优化的效率，其中最为典型有效的是的 SIMP 法。变密度法的基本思想是假设结构由有限个单元组成，这些单元的密度在[0,1]之间变化，通过构建材料插值模型将单元密度与其材料属性进行联系，改变单元的密度进而改变结构的性能，得到性能最佳结构。在变密度法中，如果不对单元密度进行处理，会产生大量的中间密度单元，但这些中间密度单元并没有实际的制造意义，SIMP 法通过对单元进行惩罚，将处于中间密度的单元变为孔洞或者实体，使结构拓扑构型清晰可制造。
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2 结构多尺度拓扑优化设计数学模型与计算方法
2.1 结构多尺度拓扑优化设计方法
2.1.1 基于变密度法的多尺度优化理论基础
多尺度优化主要可以分为并行优化与非并行优化两种。非并行优化迭代平稳，收敛较快，缺点是细观微结构优化无法对宏观材料分布产生影响，不能充分发挥材料性能。并行优化需同时考虑结构的宏细观优化，增加了设计的自由度，可以进一步发挥材料性能，但同时也会带来优化难以收敛的问题，为解决此问题本章提出了聚类方法改进模型以达到提升计算效率、平稳收敛过程的目的。最后本章通过三个算例，分析比较了采用不同设计方法得到的悬臂梁多尺度优化结果，说明本文建立的基于变密度法的多尺度并行拓扑优化设计模型的优异性。
变密度法是目前较常用的拓扑优化方法，其适用范围广、优化的效率较高，且通过变密度法可以得到中间单元密度，以中间单元密度作为微结构的体积约束，可以方便的进行细观优化。其核心思想是假设结构材料的单元密度在[0,1]之间连续可变，通过建立单元密度于材料属性之间的关系式，将单元密度与结构性能进行联系，通过对结构单元密度进行迭代更新计算，从而获得结构的最佳物理性能的目的。
采用变密度法可以将材料由离散的单元密度变为连续的单元密度，从而将离散的整数规划问题变为连续型问题，且多尺度拓扑优化需要根据宏观的优化结果指导细观微结构优化的进行。变密度法能产生丰富的中间密度单元，以中间密度单元作为微结构的体积约束，可以十分便利的进行多尺度优化，因此本文选取变密度法作为多尺度并行优化方法。
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2.2 多尺度拓扑优化设计数学模型
2.2.1 多尺度非并行拓扑优化数学模型
多尺度拓扑优化主要可以分为两步进行，宏观结构拓扑优化与细观微结构拓扑优化。在非并行的多尺度拓扑优化中，首先需要对结构进行宏观拓扑优化，待宏观拓扑优化完全完成后，根据宏观优化的结果再进行细观微结构的拓扑优化，得到微结构的构型及位置分布。此方法的宏观拓扑优化与细观微结构拓扑优化之间是单向进行的，宏观拓扑优化的结果可以对细观的微结构的构型及分布产生影响，但细观微结构优化的结果无法对宏观结构的构型产生影响。
2.2.2 多尺度并行拓扑优化数学模型
多尺度并行拓扑优化设计中，结构的宏观优化与细观的微结构优化是同时进行的，宏观优化的得到的宏观单元密度分布决定了微结构体积约束及位置分布，细观微结构优化得到的微结构构型决定了宏观结构的性能，此方法的宏观拓扑优化与细观微结构拓扑优化是双向进行的，相比与非并行多尺度拓扑优化增加了设计的自由度，这意味着增加了可行解的范围，提高了得到更优结构性能的可能性，但同时也增加了设计的复杂度，会导致目标函数收敛速度慢，甚至会产生不收敛的现象。
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3 力载荷结构多尺度并行拓扑优化设计 ...................................25
3.1 力载荷结构拓扑优化问题 ...........................................25
3.2 力载荷结构多尺度并行拓扑优化设计数学模型 ....................................26
3.3 力载荷结构多尺度并行拓扑优化灵敏度分析及迭代更新方案 .............................27
4 热载荷结构多尺度并行拓扑优化设计 ........................................ 43
4.1 热载荷结构拓扑优化问题 ................................ 43
4.2 热载荷结构多尺度并行拓扑优化设计数学模型 .................................. 44
4.3 热载荷结构多尺度并行拓扑优化灵敏度分析及迭代更新方案 ........................ 45
5 热力载荷共同作用的结构多尺度多目标并行拓扑优化设计 ............................ 57
5.1 热力载荷共同作用的结构拓扑优化问题 .................................. 57
5.2 热力载荷共同作用的结构多尺度多目标并行拓扑优化设计数学模型 .......................... 59
5.3 热力载荷共同作用的结构多尺度多目标并行优化灵敏度分析及迭代更新方案 .......... 60
5 热力载荷共同作用的结构多尺度多目标并行拓扑优化设计
5.1 热力载荷共同作用的结构拓扑优化问题
单目标拓扑优化得到的结构很难满足复杂的工况条件，对结构进行多目标优化更加符合实际需求。本章结合第二章建立的力载荷结构多尺度并行拓扑优化设计方法与第三章建立的热载荷结构多尺度并行拓扑优化设计方法，提出了考虑热力载荷共同作用的结构多尺度多目标并行拓扑优化设计方法，得到兼具承载性能与散热性能的多尺度结构。
通过所提方法，建立了“热力载荷共同作用的结构多尺度多目标并行拓扑优化设计模型”对简支撑结构进行多尺度优化设计分析，通过对比不同权重系数下的优化结果，可以看出多目标优化可以极大的提高结构的综合性能，同时验证了所提方法的正确性与有效性。
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6 结论
6.1 论文总结
本文提出了一种同时考虑结构宏观性能和细观微结构性能的多尺度并行拓扑优化设计方法。通过对宏观优化结果聚类，得到不同类型微结构的体积及位置信息，从而指导细观微结构的优化设计，并把优化的微结构重新填充到宏观结构中，再次评价宏观结构的性能，依次循环，直到获得最优的宏观结构及细观的微结构。主要完成工作如下：
（1）建立了多尺度并行拓扑优化模型及多尺度非并行拓扑优化模型，分别对结构进行优化分析，验证了并行优化能较大幅度提升结构性能；为提高计算效率、降低计算时间成本，分别采用均匀密度划分方法与聚类划分方法对微结构设计域进行划分，通过数值算例表明，聚类划分方法更能发挥结构的性能；针对优化后期聚类边界密度值的划分波动导致目标函数迭代不收敛问题，提出聚类结果改进模型，有效解决了聚类波动问题，使得目标函数快速收敛。
（2）对力载荷结构进行了多尺度拓扑优化设计，建立了力载荷结构多尺度并行拓扑优化设计模型，采用该模型对拓扑优化中经典的悬臂梁结构进行多尺度拓扑优化设计，根据具有不同种类数的微结构优化结果表明，增加微结构的种类数可以提高结构的性能；改变微结构单元尺寸，微结构最优单胞构型也会随之发生改变，表明所建模型具有尺寸效应，更加符合实际应用要求；应用所建模型分别对 MBB 梁、Michell 结构进行了结构优化设计，从优化结果明显看出所提方法对力载荷结构是十分有效的。
（3）对稳态热传导条件下的结构散热性能进行了多尺度拓扑优化设计，建立了热载荷结构多尺度并行拓扑优化设计模型，采用该模型对四边界恒温结构、四顶点恒温结构、中心恒温结构进行多尺度并行优化设计，由优化结果可以看出所建模型可以有效应用于热载荷结果优化问题中，具有通用性。
参考文献（略）