基础周期激励下圆弧拱平面外参数动力失稳理论与实验研究

本文主要有以下结论：（1）本文分别建立了有阻尼和无阻尼的圆弧拱平面外动力稳失稳 Mathieu-Hill 方程，提出运用 Bolotin 法求解圆弧拱平面外参数共振不稳定域的方法为类似动力系统的动力稳定性研究提供了一定的参考价值；（2）制定了基础竖向简谐加速度作用下圆弧拱平面外动力稳定性研究的实验方案与装置，弥补了现有实验装置的缺陷，确保了圆弧拱两端受到相同的加速度激励；

第一章 绪论

1.1 拱平面外稳定性的研究背景和意义
1.1.1 课题背景
拱结构是一种常见的结构形式，在我国古代已经应用于桥梁结构中, 如赵州桥，该桥由我国著名工匠李春主持设计和建设，是世界上保存最完整的拱桥，距今已有 1400多年的历史。随着近代结构工程的发展，人们逐渐发现拱结构在工程应用中具有诸如结构轻盈美观、承载能力高和跨越能力强等特点，因此其使用范围从桥梁工程逐渐拓展到水利水电工程、机械设备工程和航天航空工程等领域。
和简支梁相比，拱在受到荷载作用时，拱脚不仅会产生竖向反作用力，还会产生水平推力作用。从力学角度可知，在同样荷载作用下拱顶的最大弯矩远远小于简支梁结构跨中弯矩，因此拱结构可以大大提升承载效率。比如在建筑工程中，拱结构以其独特的性能和优美的造型常被应用于大型体育馆，如复旦大学正大体育馆和雅典奥林匹克综合体育场（见图 1-1）等。

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1.2 拱的动力稳定性研究进展
1.2.1 动力荷载下拱的平面外动力稳定性理论研究进展
拱在静力荷载作用下的失稳问题在十九世纪五六十年代已经有比较多研究[1-19]。对于拱结构的动力稳定性的研究国外较早展开，国内研究人员也在最近二三十年开始重视拱结构的动力失稳问题研究。动力失稳问题较为复杂，通常很难获得其动力失稳临界荷载解析解，多借助于数值分析手段开展研究。
Bolotin[20]在 1960 年开始对圆弧单拱在受到动力荷载作用下的稳定性问题进行了探讨，并在其著作《弹性体系的动力稳定性》中提出将迦辽金法用于求解动力方程，然后把弯曲振动微分方程变换成马奇耶方程组来求得动力不稳定域。Humphreys[21-22]在1966 年针对均布脉冲荷载作用下圆弧拱的动力失稳问题进行探究，从而提出关于动力失稳的能量判断准则。Dugundji 和 Tseng[23]在 1971 年把谐波平衡法用于小幅值周期荷载作用下圆弧拱的动力响应问题的研究。Hsieh 与 Plaut[24]在这个基础上进行了大幅值周期性荷载作用下圆弧拱动力失稳分析。Kounadis[25]在 19 世纪 90 年代对单自由度拱结构在非线性动力作用下结构的稳定性进行了分析，提出了结构在冲击荷载下的失稳方程。Matsunaga[26]则提出位移能量持续膨胀法研究圆弧拱的自由振动以及拱结构的动力失稳原理，得出荷载失稳的近似解。在这之后的拱结构动力稳定性研究主要基于能量法来开展。Simitses[27]在能量法的基础上对拱脚固接和铰接两种边界条件的下圆弧拱受到突加正弦荷载时结构临界失稳的近似解进行求解。Hsu[28-29]提出了对圆弧拱在阶跃荷载作用下的动力稳定性判别准则——Hsu 能量准则。Levitas[30]等则在 Hsu[31]的基础上用个体映射法进行动力稳定性探究，把 Poincare 单个体映射法用于弹性状态下的圆弧拱在径向均布荷载的作用下结构的整体动力稳定性研究中。Pi 和 Bradford[32-37]等人基于能量法对拱脚为固接和铰接两种情况下的浅拱的动力稳定性开展了研究，构建出标准阶跃荷载下弹性拱在面内的失稳方程，然后以总势能原理为基础，分析了非线性因素对拱结构的失稳影响。除此之外，Pi 等人把能量守恒定理用于弹塑性动力失稳准则中，求解出拱结构的弹塑性动力失稳临界值的解，得出在阶跃荷载作用下铰接浅拱面内的弹性动力失稳临界荷载小于同静力弹性失稳临界荷载的结论。刘爱荣等[38-40]针对弹性圆弧浅拱在拱顶集中力周期荷载作用下的平面内和平面外动力失稳问题进行了理论和实验研究，考虑几何非线性、阻尼和附加配重权重的影响，建立了基于哈密顿原理的平面内外运动微分方程，求得拱结构平面在周期集中力作用下面内外失稳的激发频率解析解，然后完成了实验研究，并验证了解析解的准确性。
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第二章 基础激励下圆弧拱平面外动力失稳理论推导

2.1 圆弧拱面外失稳机理
当圆弧拱截面高宽比比较大时，即使圆弧拱只受到基础竖向简谐激励作用，因为拱平面内刚度远远大于平面外刚度，所以拱结构仍可能会在满足一定条件的基础激励作用下发生面外大幅度振动（即面外参数共振失稳）。研究圆弧拱的面外参数共振失稳问题，可以分为以下三个步骤：首先，建立基础竖向简谐荷载作用下圆弧拱的动能、势能以及外力势能表达式；第二，求解圆弧拱平面内的轴力与弯矩；第三，建立Mathieu-Hill方程，求解动力不稳定域。
通过有限元分析软件 ANSYS 建立两端固接圆弧拱的加载模型，其中圆弧拱的单元类型为 Beam188，矢跨比为 1/7，跨径为 0.8m，弹性模量为 6.9×1010Pa，材料密度为2700Kg/m3的铝拱矩形截面的高度为 0.006m，宽度为 0.002m。图 2-2 给出了基础加速度为 10m/s2下的圆弧拱的有限元模型以及弯矩轴力分布图。

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2.2实验目的与概述
2.2.1实验目的
通过实验获得圆弧拱的自振频率与测点的衰减曲线，进而通过自由衰减法得到圆弧拱的阻尼比。根据理论研究的动力系统，利用 TIRA 激振器模拟基础竖向简谐荷载，通过扫频和定频的方法获得具有不同矢跨比圆弧拱的位移时间历程，根据时域分析法获得实测的动力不稳定域，验证理论解的正确性。
2.2.2实验概述
本次实验主要研究基础周期简谐加速度作用下圆弧拱的平面外动力失稳机理。
实验概要如下：
（1）结构模型：不同矢跨比的圆弧铝拱（2）边界条件：两端固接（3）激振系统：德国 TIRA 动力激振系统进行加载（4）测量内容：拱的频率、阻尼和位移（5）采集系统：NDI三维测量系统

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第三章 圆弧拱面外参数动力失稳实验........................... 22
3.1 实验目的与概述...............................22
3.1.1 实验目的......................22
3.1.2 实验概述.............................22
第四章 动力试验结果与理论结果的对比分析............................... 40
4.1 失稳模态与圆弧拱自振频率.............................40
4.1.1失稳模态.........................40
4.1.2自振频率实验结果........................41
第五章 结论与展望..........................73
5.1 结论............................73
5.2 展望.................74

第四章 动力试验结果与理论结果的对比分析

4.1失稳模态与圆弧拱自振频率
本次实验根据第三章提供的实验方法对矢跨比由 1/3 到 1/10 的 8 根圆弧拱试件进行实验求得圆弧拱实测自振频率。将实验测得的自振频率与圆弧拱理论推导以及ANSYS 有限元软件建模得出的自振频率进行对比分析，从而相互验证了三种方法得到的圆弧拱自振频率的准确性。其中 ANSYS 有限元软件求得的自振频率结果将用于计算动力不稳定域。
4.1.1失稳模态
选取矢跨比为 1/7 的两端固接圆弧拱，根据实验试件模型，利用有限元软件ANSYS 建立圆弧拱数值分析模型，通过模态分析得到圆弧拱的主要失稳模态（一阶模态）和对应的自振频率。如图 4-1 所示，因为圆弧拱的侧倾扭转参数共振失稳是圆弧拱的主要失稳模态，所以实验只对该失稳模态进行研究。

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第五章 结论与展望

5.1结论
本文提出了基础竖向简谐加速度激励下两端固结圆弧拱的面外参数动力失稳理论计算是试验场测试方法。运用能量法，推导了基础竖向简谐加速度激励下圆弧拱的运动方程和 Mathieu-Hill 方程，并利用 Bolotin 法求出了圆弧拱平面外参数共振失稳的动力不稳定域。主要有以下结论：
（1）本文分别建立了有阻尼和无阻尼的圆弧拱平面外动力稳失稳 Mathieu-Hill 方程，提出运用 Bolotin 法求解圆弧拱平面外参数共振不稳定域的方法为类似动力系统的动力稳定性研究提供了一定的参考价值；
（2）制定了基础竖向简谐加速度作用下圆弧拱平面外动力稳定性研究的实验方案与装置，弥补了现有实验装置的缺陷，确保了圆弧拱两端受到相同的加速度激励；
（3）利用锤击法测定了圆弧拱平面外的自振频率以及采用自由衰减法计算了对应的阻尼比，实测值与理论解吻合良好，结果表明：随着矢跨比的增加，圆弧拱的自振频率和阻尼比减小；
（4）利用时域分析法有效地分析了基础竖向简谐加速度激励下圆弧拱参数共振失稳的各阶段的振动状态，为后续动力不稳定域的验证提供了良好的判别方法；
（5）通过扫频激振测试和运用时域分析法获得了不同矢跨比圆弧拱的动力不稳定域的临界激振频率的上下限值，结果表明当基础竖向激励频率约为圆弧拱自振频率的 2倍时，拱发生激烈的平面外发散振动，即发生平面外参数共振失稳；
（6）实验结果发现：当基础竖向加速度激振频率小于临界激振频率下限时，拱处于稳态强迫振动；当基础竖向加速度激振频率大于临界激振频率下限时，拱发生平面外参数共振失稳，其振动幅值迅速增加并呈线性增长；当基础竖向加速度激振频率大于临界激振频率上限时，拱的能量耗散速率大于基础竖向激励速率，拱平面外参数共振失稳的幅值迅速下降，最终恢复至稳态强迫振动；
参考文献（略）