1 绪论
1.1 研究背景和意义
制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基[1]。中国制造2025 提出要把我国建设成为引领世界制造业发展的制造强国[2]。与此同时，近期贸易战的掀起，也警醒我们国家竞争力仍待提升，强国之路道阻且长。高端数控机床作为衡量一个国家制造水平的重要标志，对其进行深入的研究具有十分深远的意义。随着近年来高功率光纤激光器技术的进步[3]，五轴激光切割数控机床产品也层出不穷，研究针对五轴激光切割数控机床的 NURBS 曲线直接插补技术，将有助于提升国内制造水平，加强中国制造的竞争力，提振名族自信心，并带来巨大的经济效益和社会效益。
1.1.1 NURBS 曲线直接插补技术的提出
传统的数控机床中，加工曲面（或曲线）型零件时，一般是使用 CAD 系统（或者独立开发的算法）先将曲面（或曲线）转换成直线段序列或者圆弧段序列再进行插补加工[4]。这种使用大量的直线和圆弧来模拟曲线的插补方式虽然在一定程度上能够满足市场需求，但是面对国外能够直接对曲面（曲线）直接进行插补的高端数控机床仍有诸多的不足之处：
（1）精度与数据量之间的矛盾不可调和[5]。使用线段序列来逼近曲线，要使得精度高则需要细分更多更短的线段来拟合。因此精度高必然会带来数据量的增长，而数据量的增长除了会带来数据传输的压力还意味着需要进行更多的计算，严重影响机床插补的实时性[6]。而减小数据量，必然导致拟合的精度变低，进而影响加工精度。
（2）用线段群来拟合曲线，一方面从数学的角度上讲，它破坏了一阶导数的连续性，最终将影响加工出的零件表面的光滑性[7]；另一方面，大量的微小线段意味着机床需要频繁地进行加速和减速，加工速度往往尚未达到最大加工速度便要开始减速，甚至引起机床的剧烈振动。简而言之是既影响了加工效率又会影响加工效果。
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1.2 国内外研究历史与现状
1.2.1 发展历史
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2 NURBS 曲线插补算法模型
2.1 插补算法
2.1.1 插补算法简介
在数控系统中，图形是以数据的形式表示[28]，例如在二维系统中，一条线段用两个端点（每个点则用两个 double 型变量来描述坐标位置）来表示，而一段圆弧则使用圆弧端点圆心和凸度等信息表示。数控插补的过程实际上就是对这段线段两个端点之间点数据进行密化的过程[29]。不同的图形，其插补算法不同，例如直线段有直线插补，圆弧段有圆弧插补等等，本论文的重点则是实现 NURBS曲线的插补。
插补计算需要注意时效性。每隔一个插补周期，运动控制卡将向驱动器发送一次脉冲信息，因此相关的运算必须在一个插补周期内完成[30]。使用硬件电路完成插补计算的插补称为硬件插补，其优点是运行速度快，缺点是插补方法写死在硬件逻辑中，无法修改和拓展，缺乏灵活性。现代插补一般使用软件方法实现插补，一方面得益于计算机价格的降低和性能的提升软件插补也能够获得理想的插补速度，另一方面得益于软件的灵活性，它能够方便地修改和进行功能拓展。如果说机床是数控系统的躯壳，那插补算法则是数控系统的灵魂。
2.1.2 数控插补分类及实现原理
根据 CNC 系统的工作原理和算法的不同，插补分为两大类：脉冲增量插补和数据采样插。
（1）脉冲增量插补
脉冲增量插补方法的特点是每个插值产生一个脉冲，其结果只产生一个行程增量 ，也就是说它每个插补周期只向某一个轴发送一个脉冲。可以其原理如图2-1 所示，可以想象其加工质量并不如意。
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2.2 通用 NURBS 曲线插补算法模型
完整的插补算法包括插补和坐标变换两个部分，插补过程又可以细分为预插补和实时插补的过程。本章先对 NURBS 曲的定义和性质进行简单的介绍，然后给出 NURBS 曲线插补算法的模型，需要指出的是，该算法模型的价值是它不仅仅适用于NURBS曲线和五轴数控切割机床，还是一种通用的曲线插补算法框架。
2.2.1NURBS 曲线
NURBS 定义
一条 NURBS 形如下图 2-3 所示，它由阶数，控制点，权重，节点矢量[33]四个因素共同控制的曲线。
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3.1 NURBS 曲线数据结构 ............................. 17
3.2 由参数计算插补点 ...................................18
3.3 参数预估算法 ..................................23
4 工件坐标到机械坐标的转换..............45
4.1 五轴机床数学模型 .......................................45
4.2 运动学正解...................................46
4.3 运动学逆解.......................................51
5 仿真实验...............56
5.1 直接插补法与传统方法对比 ........................56
5.2 本章小结.....................63
5 仿真实验
5.1 直接插补法与传统方法对比
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6 总结与展望
6.1 总结
NURBS 曲线作为国际 ISO 认证的数据交换标准，研究 NURBS 曲线插补技术具有代表性的意义。本文在总结了前人研究成果后提出一种通用的 NURBS 插补算法框架，并就其中所有的实现细节展开了讨论，主要体现在以下几个方面：
（1）给出了 NURBS 曲线从插补参数计算插补点的算法流程，从算法复杂度的角度对定义法和 de Boor 递推法进行了对比分析，并实验验证了 de Boor 算法的正确性和相对定义法的优越性。最终得出结论，选择 De Boor 算法更加合理，并且在实际工程应用中可以将实时插补过程中所需要的中间系数在预插补的过程中提前计算出并保存在矩阵中，减小实时插补的计算压力。
（2）给出了计算一阶导数的算法流程，从算法复杂度的角度分析了定义法和差分近似算法的运行效率，并实验验证了差分近似算法的正确性和效率上相对定义法的优越性。实验得出结论，工程中在只需要计算一阶导数的情况下，使用差分近似算法是很好的选择。
（3）给出了差分法计算二阶导数的算法流程，从算法复杂度的角度分析了定义法和差分算法的运行效率，实验验证了差分算法与定义法的差异。从实验数据来看，使用差分法计算无疑是非常明智的选择。
（4）给出了辛普森二分法计算 NURBS 曲线弧长的算法流程，并实验验证了其正确性。复化辛普森弧长算法对于所有的曲线弧长计算都有能起到指导作用，是通过分治思想不断细分最终获得能达到精度要求的细分区间。
（5）提出了一种简单的前瞻速度规划算法，在最大加工速度，加速度等的约束下，实现了 NURBS 曲线的插补。预插补过程可以看作对整条 NURBS 曲线进行信息前瞻的过程，提前筛选出速度极值点，再对两个相邻的速度极值点之间的曲线进行速度规划和实时插补
参考文献（略）