数值流形方法依据流形单元做进一步的透彻分析
导读：不同于一般数学流形在整个流形构造区域需满足总体函数的连续可微;数值流形方法基于局部函数的统一形式，总体函数与局部函数的定义有关，即与局部覆盖相关，整个区域的总体函数是分片构造的。由本站硕士论文中心整理，提供帮数学建模硕士论文策划。
第一章绪论
1.1引言
数值流形方法(NNM: Numerical manifold method)由石根华先生于上世纪90年代初创建的。作为一种高精度计算的数值方法，该方法采用有限元类似的插值函数构造模型，并吸收非连续性变形分析(DDA)中块体运动学的特点，将连续问题与非连续性问题统一起来。数值流形方法的整体函数转化为权函数与局部函数构成的统一形式。与传统有限元方法(FEM)插值函数相比，具有不同的数学和物理意义。数值流形方法的数学基础是拓扑流形和微分流形。不同于一般数学流形在整个流形构造区域需满足总体函数的连续可微;数值流形方法基于局部函数的统一形式，总体函数与局部函数的定义有关，即与局部覆盖相关，整个区域的总体函数是分片构造的。从物理意义上讲，数值流形方法的总体函数通过对应局部覆盖区域的局部函数叠加获得。特别地，当采用有限覆盖的方式来构造总体函数时，需采用两种独立的网格进行分析。规定数学覆盖网格与局部函数的作用域相对应。物理覆盖网格与具体求解区域的物理结构特性相对应，显然地，数值流形方法适用非连续变形分析，不同介质的变形以及物体的大位移运动。当采用的数学覆盖和物理覆盖重合，且局部覆盖函数采用常数形式时，数值流形方法就转化为有限元方法，由此可见有限元方法是数值流形方法的特例;时的局部覆盖函数覆盖区域仅对应于相应的包含总体函数插值的有限单元内。数值流形方法的特点表明，该方法是一种广义的数值计算方法，具有独特的物理意义及其数学本质。
1.2数值流形方法与其他数值方法的关系
数值流形方法对于给定的求解区域需采用两种不同的覆盖形式，即数学覆盖(网格)和物理覆盖(网格)。两种覆盖是相互独立的，意义不同，在离散求解的过程中需要将这两种覆盖统一起来。数学覆盖，为局部函数的作用区域，即局部覆盖区间。所有的局部覆盖区间必须完整的覆盖整个求解区域，这样整个求解区域才可离散求解。物理覆盖，反映物体的物理特性;这些物理特性包括几何构造，几何边界、裂缝、块体结构、以及不同材料1特性的分界面等。物理覆盖的选择不是任意的，取决于求解区域的物理性质。当数学覆盖和物理覆盖重合时，可直接以物理覆盖网格作为计算的离散单元。流形单元作为数值流形方法计算的离散单元，不仅应该符合局部函数的定义，同时应当反映物体的物理特性。因此必须将数值流形的数学覆盖和物理覆盖统一起来。物理覆盖在求解域的连续区域采用与数学覆盖相同的网格形式，在非连续性区域以几何边界、裂缝等几何特性为基准生成物理覆盖，并将其叠加到数学覆盖上以实现对数学覆盖的再剖分，再次剖分生成的数学网格即为流形方法计算的网格。当整个流形系统采用有限覆盖的方式生成时，各个局部覆盖的公共区域定义为流形单元，整个求解域可由若干分片一的流形单元构成。各个流形单元对应不同的局部覆盖区域及局部覆盖函数，总体覆盖函数在不同流形单元对应不同形式。此时的总体覆盖函数通过局部覆盖函数在其对应的流形单元内以加权的形式求和计算，这样在整个求解域的总体覆盖函数能给出统一的定义。由于数值流形方法采用有限覆盖的基本模型，统一了非连续性分析，能基于不同求解域的不同物理特性进行离散，因而可以实现对于各种物理问题的求解。流形方法中总体位移的局部覆盖为函数形式，可采用多自由度的级数形式，对于偏微分方程及其他复杂问题的数值求解是一种更高的数值计算方法。
作为一种更广义的数值计算方法，它与其他数值计算方法，如无网格法、有限元法、单位分解法存在联系与区别。
1.2.1与有限元法的关系
帮数学建模论文-有限元方法是一种传统、典型的数值计算方法。从上世纪中期到现在得到不断发展和完善，并且己将其应用于多个领域。传统的有限元方法对于处理结构相对简单的物理问题有明显优势，但是对于物理结构复杂，位移变形大的问题存在明显不足，计算结果往往不理想。在此基础上发展了扩展有限元法。该方法在提高插值精度以及对于复杂物理结构及变形问题有明显优点。例如，为提高求解域上总体函数的插值精度，可通过在单元内部增加的节点对位移函数插值，而不改变整个求解域内的单元数目，这样不仅计算量不会增大，还提高了计算精度r2]。当物体结构位移变形较大时会导致原有的有限元网格发生畸变，此时由于位移函数依赖于网格的节点坐标，因此插值精度急剧下降，原有的有限元方法将变得不可行，在此基础上，建立了网格变化或运动的有限元法[3,4]。传统有限元方法对于解决非连续变形问题及裂纹生长中的力集中问题、复杂界面问题存在不足[[5,6]，扩展有限元法、混合有限元方法对于解决这些问题有明显优势。相比有限元法，发展的扩展有限元法对于物理结构复杂的问题适用性更强，并且在插值精度、形函数构造以及网格生成上都有了改进，但对于该方法的数值问题等方面的问题还需要进一步的研究.
有限元法与数值流形方法的区别和联系主要体现在以下几个方面:
1.网格生成。有限元方法采用单一物理网格，网格随物体变形发生变化，并且以该物理网格作为有限单元网格对整个求解域进行离散计算。数值流形方法采用两套网格，数学网格选择满足至少覆盖整个求解域，在物体变形过程中不发生变化，限定局部函数的作用区间，物理覆盖随物体变形发生变化。
2.未知变量。有限元方法以节点变量作为求解的未知变量，局部覆盖函数以常量形式存在。数值流形方法以局部覆盖函数级数形式作为求解的未知量，局部覆盖函数一般采用未知多项式形式或其他级数形式，具有多个未知量。
3.总体函数的近似。有限元总体位移函数由节点变量与形函数加权求和得到。插值精度由单元形状以及形函数的插值精度决定。流形方法总体函数由局部覆盖函数，权函数加权求和得到。局部覆盖数学形式及作用区域将影响总体函数的插值精度。
4.节点函数及覆盖域。有限元节点变量为单一未知变量，覆盖域为包含该节点的所有有限单元内。流形方法节点函数可为多未知变量的多项式或级数形式，作用的覆盖域可自行定义，相比有限元方法，覆盖域更广。
1.2.2与单元分解法的关系
单位分解法于上世纪末由Duarte}g}等提出，其基本原理是将任意求解域内的总体函数单位分解为一组局部覆盖函数形式;它是一种广义的单位分解法，事实上，从总体覆盖函数出发直接分解出局部覆盖函数的加权形式一般来说是很困难的。目前许多的数值计算方法都属于单位分解法，如有限元法、无网格法、有限元与无网格藕合的方法、数值流形方法等。这些方法采用单位分解的基本模型，适用于不同物理问题求解，具有不同优点。局部覆盖函数、单位分解系数具有确定的意义和形式。
有限元方法采用单一节点变量为单位分解法的局部覆盖形式，与节点插值有关的形函数作为单位分解系数(为函数形式)。有限元方法是基于单元节点插值的单位分解法。由于局部覆盖仅作用于节点包含的有限单元，单位分解在任意有限单元，仅由包含于该单元的节点覆盖函数进行单位分解构造。无网格方法采用求解域内一组离散节点进行构造，每个节点对应确定的影响域(或覆盖域)，区域内任意位置的总体函数都可由包含在影响域内的所有节点构造。构造的总体函数可单位分解为由这组节点覆盖函数(单一节点变量)的加权形式。无网格法的总体函数由求解域内离散节点构造，不依赖于网格生成。与广义单位分解法相比，数值流形也采用局部覆盖函数对总体函数进行分解;所不同的是，流形方法局部覆盖函数有确定的覆盖区域，网格生成的意义不同。
1.2.3与无网格法的关系
无网格法(MFree)可定义为:在建立整个求解域系统方程时，不需要依赖网格信息进行离散求解的数值计算方法。无网格法总体函数的构造，首先通过散布在求解域内和边界上的一系列场节点来描述物理问题域及其边界。这些节点不构成特定网格，且无需事先定义的节点连接信息，然后通过求解域内的节点来构造近似的总体函数。对于理想的无网格方法要求在求解偏微分方程及处理边界条件时，均无需采用网格。由于基于局部节点来构造总体函数，节点形函数是局部存在的。对于不同节点，需定义节点的影响域或局部支持域(覆盖域)。对于求解域内不同计算点的总体函数，通过局部支持域来确定对于任意计算点而一言所包含的场节点数，以这些节点来构造计算点的形函数以及最终总体函数。由此可见，特殊计算点的形函数可随该点位置变化而变化。无网格强式法相对于弱式法而启一，稳定性差。目前，大部分研究都集中在弱式法，根据公式的不同导出方法，可将其为3类:(1)基于弱式的无网格法。(2)基于配点技术的无网格法。C3)基于弱式和配点技术相结合的无网格法。
无网格法与数值流形方法的区别与联系主要体现在以下几方面:
1.节点信息。无网格法节点散布于整个求解域，用于表示整个求解域及边界，无需预定义的网格信息及节点连接信息。流形方法采用节点反映网格单元信息，且对于不同节点数学覆盖域可能不同。
2.未知变量。无网格方法采用节点单一变量。数值流形方法以局部覆盖函数未知形式作为求解的未知量，局部覆盖函数一般采用未知多项式形式或其他级数形式。
3.总体函数的近似。无网格法总体函数基于局部场节点构造，由于整体求解域内场节点的局部支持域不相同，因此不同计算点的权函数构成及总体位移函数形式可能不同。流形方法的总体函数近似依赖流形单元覆盖节点及覆盖域，对于确定流形单元内，总能给出确定的总体函数形式。
4.节点函数及覆盖域。不同于流形方法，无网格方法节点函数即为节点单一变量，覆盖域为节点支持域。
5.数值积分计算。数值流形方法与有限元方法都是基于有限单元进行积分，最终积分转化为单元内或相应边界上的积分，积分函数在单个流形单元内或边界上为确定形式，可直接采用通常的数值积分，如Gauss积分、Hammer积分。无网格法积分时，必须在整个求解域内布置背景积分网格，单个区域积分点处积分函数形式不同，必须分类处理，且通常积分复杂。对于复杂的积分函数，需考虑采用蒙特卡洛积分。
1.3数值流形方法的优点
通过对上述几种典型数值方法的分析可知，它们在采用局部覆盖函数及权函数来构造总体函数的方式这样基本思想大致相同。明显不同之处在于局部覆盖函数的选取形式、局部覆盖的作用区域、权函数的构造方法、网格的划分及单元生成、数值积分方式的选取等方面。各种方法采用不同的选取方式及处理方法，相比于其他数值计算方法，流形方法具有以下明显优点:(1)采用有限覆盖标准单元网格对整个求解域内数学覆盖划分，不仅构造简单方便，同时便于物理覆盖生成后的最终网格再剖分及流形单元的确定，这克服了传统有限元方法由于大变形导致网格畸变及网格再分的问题，同时克服了无网格方法中由于覆盖域复杂无法确定总体函数的覆盖域分布及对应背景积分网格的问题。通过网格离散整体求解域，所生成的系统矩阵是对称稀疏的，便于数值计算，有利于提高计算效率。(2)流形方法中，根据研究物体的物理性质来定义局部覆盖域、权函数的构造方法以及局部覆盖函数的形式，使得总体覆盖函数具有很强适用性。例如，当研究的物理问题中有裂纹结构、大变形、大位移、多物体(不同界面)结构的连续性与非连续性变形时可改变数学覆盖域的大小及作用区域，或改变局部函数的基函数形式以更好反映这些物理变化的特点，为此获得的总体函数近似更精确。又如，通过改变权函数的函数形式(或阶次)或位移函数的阶次可提高单元内部和单元边界的连续性或协调性。(3)采用流形方法时，覆盖函数的未知量转化为广义自由度。在有限元方法中，边界条件的处理通过直接取值或强制边界条件的处理，计算编程麻烦，精度很难保证，流形方法可通过变分格式或能量泛函的方式来处理，直接引入到刚度矩阵或载荷列阵中。不改变系统矩阵的对称稀疏性质，流形方法具有更多未知广义自由度，能提高计算精度，编程实现也更简单。
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摘要 4-6
Abstract 6-7
目录 8-11
CONTENTS 11-14
第一章 绪论 14-24
1.1 引言 14
1.2 数值流形方法与其他数值方法的关系 14-18
1.2.1 与有限元法的关系 15-16
1.2.2 与单元分解法的关系 16-17
1.2.3 与无网格法的关系 17-18
1.3 数值流形方法的优点 18-19
1.4 数值流形方法的研究现状及最新发展 19-22
1.4.1 数值流形方法基础理论研究 19-21
1.4.2 数值流形方法的应用研究 21-22
1.5 本论文的主要研究内容 22-24
第二章 数值流形方法基本原理 24-42
2.1 基本理论 24-31
2.1.1 数值流形方法的基本概念 24
2.1.2 数值流形方法的数学覆盖和物理覆盖 24-26
2.1.3 有限覆盖系统的覆盖函数以及权函数 26-27
2.1.4 数值流形单元 27-28
2.1.5 有限覆盖的局部位移函数模式及整体位移模式 28-31
2.2 有限覆盖系统常用矩阵及总刚度矩阵集成 31-38
2.2.1 有限覆盖的平衡方程式 31
2.2.2 流形单元的单元刚度矩阵 31-33
2.2.3 流形单元有限覆盖上的力载荷矩阵 33-35
2.2.4 流形单元上的弯扭载荷矩阵 35-36
2.2.5 位移边界条件对应的矩阵或载荷列阵 36-38
2.2.6 初始状态的初应力矩阵 38
2.3 单元矩阵的集成 38-39
2.4 数值算例 39-41
2.5 本章小结 41-42
第三章 多边形流形单元权函数的构造 42-69
3.1 引言 42
3.2 典型多边形单元对比分析 42-49
3.2.1 杂交类多边形单元 43
3.2.2 基于位移法的多边形单元 43-46
3.2.3 基于重心坐标的多边形单元 46-49
3.3 多边形单元权函数的选取 49-50
3.3.1 权函数选取的影响因素 49
3.3.2 各类多边形单元权函数比较分析 49-50
3.4 多边形数值流形单元权函数性质分析 50-65
3.4.1 一般数值流形方法收敛性、稳定性及协调性分析 51-59
3.4.2 Wachspress权函数基本性质分析 59-60
3.4.3 Wachspress权函数单元边界上的协调性分析 60-65
3.5 Wachspress插值的流形误差分析 65-68
3.6 小结 68-69
第四章 多边形流形单元网格生成及数值积分 69-81
4.1 引言 69
4.2 典型有限元网格生成方法 69
4.3 数值流形物理覆盖剖分技术 69-70
4.3.1 物理覆盖的基本概念 69
4.3.2 物理覆盖剖分的基本方法 69-70
4.4 Delaunay三角网格的构造 70-72
4.4.1 Delaunay三角网格的性质 70-71
4.4.2 Delaunay三角网格的构造方法 71-72
4.5 多边形流形单元的生成方法 72-74
4.5.1 基于Delaunay三角网格多边形网格的构成 72-73
4.5.2 多边形网格的生成 73-74
4.6 多边形流形单元的局部覆盖位移形式 74-75
4.7 数值积分方案的选取 75-79
4.7.1 几种典型的数值积分方法 75-78
4.7.2 多边形流形单元积分的选取 78-79
4.8 数值算例 79-80
4.9 小结 80-81
结论与展望 81-83
参考文献 83-89
攻读学位期间发表的论文 89-91
致谢 91
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