第一章 绪论
1.1 课题研究的背景及意义
齿轮传动装置具有长寿命，高传动效率，传动比稳定等优点，被广泛应用于各类机械装备和动力传动装置中[1]，其安全状况、工作性能效率和力学行为都影响着整个机械装备的稳定运行。随着科学技术的不断发展，机械工业生产能力也在不断的提高，对齿轮系统的要求也在不断的提升，要求齿轮传动系统的性能向高精度、高转速、高可靠性和高稳定性等不断提升，与此同时也会使得齿轮动力学系统的结构变得越来越复杂，使得振动对机械系统的影响也更加明显，例如在许多现代化领域中如航空航天设备，高铁动车，军事器材和精密机床等。减少由齿轮系统故障导致的事故，减少人员和财产损失，提高齿轮系统运行时稳定性，对振动具有很高的敏感度和要求的装置，理当由减少齿轮系统的振动使装置提高稳定性和安全性能。因此，国内外许多科研人员和技术工程人员对降低齿轮系统在传动过程中的振动和噪音，提高齿轮系统运动稳定性减少齿轮运行时的振动增加稳定性的问题进行了大量研究，要求齿轮运行系统尽可能的满足现代化社会发展需要。目前国内生产的齿轮传动箱在振动性能和噪音问题上还不能完全满足于高精度行业的需要。齿轮传动系统的安全性能，振动性能对整个工业生产行业有着非比寻常的重要性。
在齿轮的生产过程中，运用不同的加工方法，加工设备以及后处理技术等过程使得齿轮齿面的微观凹凸不平形貌具有很大的差异[2][3]，齿轮副在传动运行时也表现出一定的差别。在空间几何的微观尺度下，经过机加工的齿轮表面形貌是凹凸不平的。在齿轮系统中，齿轮的相互接触作用一般都是点接触或者是线接触方式，齿轮的接触性能直接影响着齿轮的动力学性能，接触对高精度齿轮性能的影响更加剧烈，在齿轮传动副中，轮齿齿面的接触刚度和阻尼，载荷压力，摩擦力，齿侧间隙等动力学特性也会因为齿面微观凹凸不平的特点不同使得齿轮系统在运行中呈现非线性变化[5][6]，进一步对齿轮运动稳定性以及振动噪音造成一定影响。传统的齿轮接触理论已不能够为齿面微观形貌对齿轮系统动力学性能进行分析提供依据。
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1.2 国内外研究现状
1.2.1 齿轮振动研究进展
齿轮传动作为机械传动的主要形式之一，尤其在高速或者低速重载的传动装置中有着十分重要的地位。虽然齿轮在几千年前就得到了运用，但是由于缺少强力的动力使得齿轮的速度得到限制，以及所应用的环境要求，所以并不能存在动力学问题。随着时间的推移，社会的进步，即便是到了工业革命时期，有关齿轮传动的动力学研究也并没有得到足够的重视。第一次工业革命之后，由 Euler 提出的渐开线齿廓齿轮逐渐得到广泛的应用并处于领先地位。1908 年德国学者E.Videky 基于 Hertz 理论建立了齿面接触压力的计算公式。20 世纪 50 年代到 60年代的研究主要以线性振动理论为基础。齿轮动力学系统研究主要可以包括为：应力应变、磨损、传递效率、齿轮啮合区、轴承负载、齿轮系统振动及稳定性研究。其中在系统中研究对象并不是呈现线性规律，如果用线性的角度去研究就会产生较大的误差和不稳定性。80 年代以后，以非线性振动理论为基础的研究也逐渐发展起来了。 1992 年 ，G.W.Blankenship 等认为时变刚度是齿轮系统在运行中产生振动以及噪音的主要原因[16]。1997 年 M.Amabili 和 A.Rivola 研究基于重合度单自由度的直齿轮系统的稳态响应以及系统的稳定性[17]。从重合度角度出发得出高重合度齿轮运行周期稳定，采用高重合度有利于降低齿轮的振动及噪音。2000 年 YANO Mitsuru 等人认为腹板结构对振动产生影响。得到推力频率与齿轮本身的共振频率相冲突是，则振动会减小[18]。2004 年，A,Al-shyyab 等人采用集中质量法建立考虑齿侧间隙究啮合刚度和阻尼以及啮合频率等对齿轮系统振动的影响[19]。2007 年，W.D.Mark等人通过实验数据进行研究推断出齿轮弯曲疲劳损伤的主要振动激励源是齿轮的全齿塑形变形，并且导出一般闭式公式，可以近似的计算全齿塑形变形引起的静态传递误差振动激励。2011 年 Marcello Faggion 等人通过分析直齿轮非线性动力学特性及其响应，建立了以齿轮振动幅值的目标函数，利用 Random-Simplex优化了齿廓形状，得出齿廓形状的优化能够减少齿轮系统振动幅值及噪音。2013年 Omar D.Mohammed 等对时变啮合刚度的齿轮系统动力学进行了研究，对于裂纹过长所带来的有限元误差问题，提出了一种新的时变啮合刚度模型，通过时域方面的故障诊断数据及 FEM 结果对比，证明了新模型可以很好的解决长裂纹的问题[21]，从而使在齿轮运行中避免裂纹的参数减少提高齿轮系统运动稳定性。2016 年 A.Farshidianfar 运用 Melnikov 理论对建立的考虑时变刚度以及内外部激励和齿侧间隙等齿轮非线性数学模型进行分析得到了混沌行为存在的阈值，希望能够通过进入混沌的参数区域值选择来消除混沌[22]。
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第二章 分形接触及混沌基础理论
2.1 分形理论及接触模型
2.1.1 分形理论概述
Mandelbrot 指出，天上的云彩并不是球体，山脉也不是圆锥体，树叶脉络不是直线，河流也不是沿着直线笔直进入大海。弯弯曲曲的海岸线，蜿蜿起伏的山峰轮廓线，屡屡上升的烟雾------经过反复观察，持续思考，试图从中悟出大自然的真谛。在对大自然持续思考的漫长岁月中，Mandelbrot 对大自然界和现实世界的映像逐渐变成一幅图画，开始是不清晰的，为焦距的映像，历经大约三十年的不懈努力，终于以奇妙而真实的面目呈现在世人面前，那就是分形。
大约在 1967 年，著名的科学家波努瓦·芒得勃罗特在美国一个名为《科学》杂志上出版了一篇题目为“英国海岸线有多长？”的论文[32]，文中他对海岸线的本质提出了独特的分析与见解，使得整个学术界得以震惊。海岸线是一条不规则的曲线，从图 2-1 所示中就可以看出海岸线是粗糙的光滑的，并不知道是怎么样的延伸，是非常复杂。但是当你放大几倍，几百倍乃至于几千倍之后所得到的的海岸线任然具备着原来所具有的的特征，一眼看去非常的相似等同于一个缩小版的海岸线。1975 年，他创造了 fractal（分形）一词，同年发表《分形对象：形，
机遇与维数》。波努瓦·芒得勃罗特在这一篇论文奠基下，经过不断的思考最终提出了分形理论。
分形简单的理解就是具有相似特性的事物，这些事物不管是进行怎么样的细分或者是进行放大处理，它都能够表现出整体的特性具有很高的自相似性。分形在生活中能够经常的遇见，比如一些衣服上花纹，树上长的枝丫以及闪电轮廓等。这些自然现象在过去很长的一段时间内并没有找到可以很好描述的词汇或者知识去进行形象的表达，而分形几何学的出现和运用为此提供了十分简便有效的工具。
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2.2 混沌动力学
2.2.1 混沌简介
混沌（chaos），意味着存在不可预知的或者随机的行为。几百年来，人们对于混沌的理解研究也是越来越深入，怎么样利用混沌的产生特性为我们所用和混沌对于事物的影响是现在研究非线性科学的重要研究内容之一。混沌的发展历史大致经历了三个阶段性的发展从开始的有序到混沌，对于混沌产生的原理和产生混沌所需要的一些特定条件进行了分析研究，接着是产生混沌后混沌中普遍适应性，其中的一些分形结构等进行探究。最后是从混沌状态中脱离出来，怎么样才能够使得我们在混沌状态中进行走出去，消除混沌，从而进行一个从发现混沌，进入混沌最后控制混沌的一个历史性跨越。对于混沌控制研究意味着混沌理论的不断进步，正在开始利用混沌在实际的生产开始运用来解决一些实际产生的问题。大部分自然现象和社会现象在本质上讲都是非线性的，具有许多的因素揉合在一起作用的。虽然线性系统理论能够帮助我们理解生产学习中我们所遇到的一些困难，但是对于在生产学习中遇到的各种各样的运动方式和瞬息万变的运动过程，只能够使用非线性科学的力量，才能帮助我们更加深刻的了解其中的本质。在非线性动力学中当中混沌是一个学者们更为注重的领域之一。
混沌现象在我们生产生活中经常性遇到。天气的变化就具有混沌的特征，因为影响天气的变化涉及许多因素的影响，例如包括温度变化，气压大小，风向变化等，而这里的每一个影响因素都是不可能测得非常的准确，只会是一个近似值，而且这些影响因素也会不断的变化，根据这些因素用流体动力学方程进行的预测的误差会随着时间的推移而不断扩大，使得天气预报十分困难和不可预测性。这说明天气的变化与初始影响因素有着密切的关系。从问题的表面来讲这些问题似乎很简单，结果完全可以预测。但是从问题的变化过程来看，由于对初始条件非常敏感，其变化行为又不可预测。描述混沌现象需要利用动力学系统的数学模型。一个随时间变化的过程被称为系统，但并不是任何一种变化过程都可认定为系统。满足两个要求才能够被称为系统，（1）在任意的一个时刻之中的系统状态都能够使用若干的参数进行准确性的描述。（2）系统并不是杂乱无章的胡乱运动，在系统随时间变化的过程中受到一个区域的约束，永远不会逃逸出这一规则，换句话讲就是系统受到一定的规则支配具有一定的意识。
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第三章 齿面微观几何的分形表征及模拟............................... 22
3.1 真实表面微观轮廓测量及分形参数计算 ................................ 223.1.1 真实表面轮廓测量 ......................... 22
3.1.2 分形参数求解 .................................. 25
第四章 基于法向接触刚度及阻尼圆柱直齿轮动力学特性分析.................... 30
4.1 考虑微观几何的接触刚度和阻尼的数学模型 .................................... 30
4.1.1 法向接触刚度与阻尼分析 ............................ 30
4.1.2 法向接触刚度和阻尼分形模型的仿真及结果分析 .................. 34
第五章 基于混沌理论非线性齿轮动力学分析............................. 46
5.1 齿轮动力学模型建立 ..................................... 46
5.2 全局分岔及混沌预测 .................................. 49
第五章 基于混沌理论非线性齿轮动力学分析
5.1 齿轮动力学模型建立
本文建立一种直齿轮副系统的广义模型。假设齿轮系统中的传动轴和轴承是刚性的。图 5-1 为单啮合齿轮系统的广义模型，认为齿轮系统是由具有弹性而没有惯性的弹簧和没有弹性只有惯性的质量块组成。
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第六章 全文总结与展望
6.1 全文总结
本文借助了分形理论，混沌理论，接触理论，数学专业等方法并结合数据分析和试验验证对齿轮的运动稳定性影响进行分析研究。
首先，在空间尺度中。第一部分，简单的介绍了分形几何的特点以及运用于机械微观形貌表征的优势。过程中测得由电化学光整加工及磨削加工所得到的物体表面具有不同的结构形态，在同种加工方法处理后，其表面微观结构具有自相似性。由此验证了加工表面可以用分形函数随机几何轮廓进行表征的可行性。另外，研究了分形参数对齿轮运动稳定性的影响。采用霍普森触针式测量仪对分别用电化学光整加工和磨削加工的物体表面进行微观轮廓的测量。根据测量的数据进行功率谱求解，得到两种加工方法所对应的分形维数及特征尺度。计算结果表明，电化学光整加工的特征尺度比较小而分形维数比较大，表明光整加工所得到的微观表面峰值比较小，换句话说就是粗糙度比较小，表面越复杂，更加的趋于光滑化。结合 Herz 接触理论，分形几何等建立了考虑微观几何形貌的齿轮法向接触阻尼模型，分析了齿轮微观形貌参数中分形维数，特征尺度对齿面法向接触阻尼的影响。建立单自由度圆柱直齿轮的阻尼振动模型，结合 ADAMS 虚拟样机验证了齿轮法向接触阻尼对齿轮运动稳定性的影响规律。结果表明，增大分形维数和减少特征尺度有利于增大接触阻尼，减少齿轮运行系统的振动幅值。合理的选择加工方法，和后续的处理方法能够一定程度上的改善齿轮运动稳定性。
最后，在时间的尺度中。结合混沌理论，Melnikov 理论方法以及数值模拟方法对齿轮运动稳定性进行研究，首先，建立了考虑时变刚度，时变阻尼，内部激励误差，齿侧间隙等因素建立了单自由度圆柱直齿轮运动系统。运用 Melnikov方法对系统进行同宿轨道求解，确定阈值曲线以及受内部误差激励影响的参数域。利用龙格-库塔数值求解，得到有关内部激励影响的时域图，相图以及分岔图。对比结果，Melnikov 方法能够有效的对混沌行为进行预测，在实际的工程中，可以针对性的选择参数使得齿轮系统不再进入混沌。
参考文献（略）