第一章 引言
1.1 研究背景
1.1.1 平面图形面积计算的重要性
平面图形面积的知识内容在小学阶段占据很重要的地位，在《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中，“面积”的相关内容分类属于“图形与几何”的模块中，主要的内容有平面图形面积公式的推导过程以及公式在生活中的实际应用。注重培养学生的动手操作能力、观察能力、空间想象能力、分析能力以及数学思维。
“面积计算”是学生第一次学习空间几何中抽象概念的计算，平面图形是帮助学生形成空间观念的起点。同时，平面图形的面积是今后学习立体图形面积及体积的基础。小学数学课程中的“空间和图形”变化为了“图形与几何”，这说明在小学阶段的几何部分所包含的内容更广泛了。在几何知识的教学中，重点要让学生学会运用多种感官参与获取新知识，让学生在认识几何体、理解几何知识的同时，更能完善空间观念，养成更好地学习习惯、学习兴趣、培养出创新精神以及实践能力。同时，在平面图形面积的教学中凸显了许多数学思想方法。如：通过剪拼、割补等方法，将未知图形转化为已知图形来探究图形面积的计算方法，意在渗透转化、综合、分析思想；最后用字母式表示图形面积的计算公式旨在渗透符号化思想等。
1.1.2 课标、教科书中“平面图形面积计算单元”相关内容和要求
本文所有课例都是在笔者所任教的上海市徐汇区某小学实施的，使用的是沪教版小学数学五年级的数学教科书。
“几何小实践”（平面图形面积计算单元）是五年级第一学期第五单元的内容，具体学习内容与要求见表 1。
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数学知识的形成不能脱离它原本的历史背景。对于小学生来说尤其如此，从知识形成的历史脉络出发，能帮助学生更好的理解知识的发展过程。在沪教版教科书第九册第五单元中并没有数学历史的相关内容，但笔者学习过的数节公开课中，授课教师在教授平面图形面积的过程中，都会涉及相应的数学史知识，如刘徽的出入相补原理、《九章算术注》等内容。但在应用的力度上还只是停留在简单的文化知识补充，没有真正的把数学史的内容融入教学中。小学阶段平面图形面积计算单元，从如何求平行四边形的面积到三角形的面积再到梯形的面积内容在一个自然单元中进行教学的，这正好与历史上这方面的知识形成过程一脉相承，所以，笔者想从 HPM 的视角出发，对面积单元的内容进行重新设计，将数学史融入其中进行教学。以检测学生对于“求平面图形面积”的知识理解水平是否能够提升。另外，除了知识层面，如何提升学生学习数学的兴趣与热情，从而喜爱数学，提高学习成效。融入数学史的教学，对学生的数学学习态度产生的影响也是笔者想要研究的问题。综上，本文围绕以下三个问题展开研究：
1. 如何将数学史融入平面图形面积单元的教学？
2. 数学史融入平面图形面积单元的教学对学生知识理解与运用水平有何影响？
3. 数学史融入平面图形面积单元的教学对学生数学学习态度有什么影响？
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第二章 理论基础与文献综述
2.1 HPM 相关理论
2.1.1 HPM 简介
1972 年，在英国 Exeter 召开的第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教育关系国际研究小组（International Study Group on the Relationshipbetween History and Pedagogy of Mathematics），简称 HPM。这标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域（我们也称之为 HPM）的出现。现今，大多数的数学教育工作者对 HPM 已不再陌生，郑玮、郑毓信（2013）总结到：现在对 HPM 的认识多指“数学史在数学教学中的渗透”，或是“数学史融入数学的教学”的一种视角。
在小学阶段，国家教育部编制的《义务教育数学课程标准（2011 版）》（以下简称《标准》）中，对与数学史相关的内容进行了细致化描述。在“教科书编写建议”部分中提到：数学文化作为教科书的组成部分，应渗透在整套教科书中。为此，教科书可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用、以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。例如，可以介绍《九章算术》、珠算、《几何原本》、机器证明、黄金分割、CT 技术、布丰投针等数学史料。在教科书内容设计上，《标准》还提倡要为学生提供一定量的数学阅读材料，包括背景材料、史料知识等，供学生选择阅读。
汪晓勤（2012）总结了国际上 HPM 领域的研究工作主要为：
1）关于“为何”和“如何”的探讨。“为何”是指数学史对于数学教学体现怎样的优化作用；关于“如何运用”，是指怎样将数学史融入数学教学。
2）教育取向的数学史研究。以数学教学过程中出现的问题为导向，进行历史的研究，而不是为历史而历史。是为了教育而进行的历史研究。
3）历史相似性研究。数学概念历史的发展过程与学生对概念理解的过程具有一定的相似性。所以顺应着历史的轨迹，可以预测学生在认知上将会遇到的障碍，并以此在教学中制订教学策略。4）教学设计与实践探索。从历史的角度出发，设计帮助学生克服障碍的教学内容、形式，并付诸于课堂中。帮助学生学习数学知识、增强学习的自信心。
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2.2 小学数学单元教学的相关研究
2.2.1 单元教学的理论研究
王敬东（1992）在《教学法词典》中对单元教学做出了以下阐述：“单元教学，即按照知识的系统、结构，兼顾学生的实际水平，在组织和安排教学内容时，把教材内容分成若干单元，以单元内容来组织教学的教学方法。”
随着单元整体教学的普及和开展，有许多学者对单元整体教学进行了相关研究。单元教学的理论研究大致可分为两方面，即“单元教学”是什么？为什么要进行“单元教学”。
有关“单元教学”是什么的问题，吕世虎等（2016）对数学单元教学设计的内涵特征以及基本操作步骤做出了探讨及深入分析。其研究结果总结出数学单元教学设计具有整体关联性、动态发展性、团队合作性的三个基本特征，并将单元教学设计步骤分为（1）确定单元内容；（2）分析教学要素；（3）编制单元教学目标；（4）设计教学流程；（5）实施教学；（6）评价反思与改进。在全国第十届有效教学理论与实践研讨会上，钟启泉（2016）提出，单元设计既是课程开发的基础单位，也是后续单课时开发的背景条件。单元整体的设计是起到单课设计的引领作用的。这样可以使碎片化的课时内容有机的整合起来，让学生真正建构起自身的知识体系。
另一方面是为什么要进行“单元教学”，即根据现今教学中出现的问题从而体现单元教学必要性。薛明（2019）在对单元教学的研究中提出，单元教学的大前提就是对教学内容有一个整体、系统、全面性的认识把握。不仅对该知识点有所认识，更应该对整个小学阶段的知识结构考虑周全。同时，李翥、赵佑忠（1991）也总结了教师在备课、设计教案时，更多的还是选择单课时设计的方法，在这种情况下就会产生一些问题：1.缺乏整体的思考，割裂了知识的内在联系，没有将课与课之间的知识网络连接起来。2.发生上一节课解决一种类型问题的情况，布置的作业也只与当堂课内容匹配，学生做作业时只需要照葫芦画瓢，没有变式训练思考。数学学科的单元划分是非常具有逻辑性的，数学的单元都是围绕相关的概念而展开的，因此他们建议学生在学习一个单元的知识之后建构起相关的知识框架，便于系统的梳理知识与知识之间的关系。
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第三章 研究设计与实施..............................................21
3.1 研究方法......................................21
3.1.1 案例研究......................................24
3.1.2 问卷调查...............................24
第四章 课例研究过程...........................30
4.1 准备阶段.....................................30
4.1.1 问题聚焦....................................30
4.1.2 单元教学目标.............................................30
第五章 研究结果与分析......................................64
5.1 数学知识量表前测问卷反馈...........................................64
5.2 数学知识量表后测问卷反馈........................................65
第五章 研究结果与分析
5.1 数学知识量表前测问卷反馈
前测问卷在进行面积单元授课前进行的测试，对徐汇区某小学五（1）班 42名学生和发放了问卷，并在午自修的 20 分钟时间内完成了问卷。回收试卷 42份，回收率为 100%。
本次前测问卷的目的在于检测在授课前学生对平面图形面积计算的认知水平所达到的程度。下面是对本次前测问卷测试结果的详细分析。（表 9-10）
从表6 中可以看出，班级学生的平均分为 18.30；问卷标准差为 11.53。由数学知识量表前测设计可知第一、第二题为对平行四边形面积公式的检测，第一题答对人数达 76.19%，第二题为 85.71%。学生平行四边形面积公式的运用能力表现较好，同学们基本都了解平行四边形面积公式并能运用公式计算面积或未知条件。第三、第四题为对三角形面积公式的认知程度检测。正确率为 66.67%和45.24%，错误的主要原因为对三角形面积公式记忆错误（忘记除以 2）及无法从题目中寻找出合适的条件解决问题。从中可以看出，对于稍高难度的程序性知识问题，学生的答题正确率相比直接的公式应用要下降许多。第五、第六题为对梯形面积公式的认知程度检测。第五题为梯形面积公式的直接应用，班级回答正确率为 54.76%，达到二分之一的人数，说明班级学生对梯形面积公式的认识还有待提高；第六题的难度有所上升，需要灵活地运用公式及了解公式的形成过程，所以两个知识点的正确率只为 47.62%和 23.81%，从中可以看出相比平行四边形与三角形，授课前学生对梯形面积的公式了解较差。
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第六章 结论与启示
6.1 研究结论
6.1.1 数学史融入平面图形面积单元的教学的方式
附加式：在平面图形面积单元的教学设计中，使用到了附加式的方式来融入数学史。例如：在教学实施中，制作了微视频，向学生讲述中国数学家刘徽的《九章算术注》及国外数学家欧几里得的《几何原本》。
重构式：用数学史中的面积比较问题作为情境导入，贯穿整个单元教学设计。随后，学生借鉴历史重构的问题，通过自主探究，自然的经历面积公式的发生及发展过程。在探究得出面积的计算公式后，还可以使用古今比较的方法进一步感知出入相补的数学思想方法。
复制式：在学生自主经历了探究面积公式之后，进一步向其介绍割补法，并提供刘徽《九章算术注》中的割补法，进一步加深学生的理解。
顺应式：在本单元的教学设计中，授课的导入部分使用到了顺应式的方法来融入数学史。尼罗河流域洪水的情境，随即出现一个数学问题，如何比较形状、大小不同地块的大小。
综上，在平面图形面积单元的教学中，四种融入数学史的方式都有所涉及及应用。说明该单元的设计适合融入数学史，数学史融入该单元的教学所形成的课例也有一定的指导意义。
参考文献（略）