第1章 绪论
1.1 研究背景
随着社会的不断发展，数据分析的思想与方法显得越来越重要。在《普通高中数学课程标准（2017）版》中提出了“数据分析”是数学核心素养的基本要素。数据分析能力是指较合理地收集、判别、整合及运用信息和数据的能力。在大数据时代，从海量信息和数据中获取和整合有效信息，并利用相关统计手段来挖掘和提升数据的信息价值，已成为现代公民应具备的基本素养。
“随机变量及其分布”是高中数学课程概率与统计部分的核心内容。把随机现象的结果数量化，即用随机变量表示随机现象的结果，使我们可以利用数学工具（如函数、积分等）来研究它们。任意一个随机变量都有一个自身的分布（如离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数等），由分布可以算出有关随机变量事件的概率，分布全面描述了随机变量取值的统计规律性。除此之外由分布还可以算得相应随机变量的一些数字特征，如数学期望、方差、分位数、相关系数等等。这些数字特征从各个角度说明了分布的不同特征，是刻画随机变量特征的有效工具。它们虽然不像分布函数那样完整地描述了随机变量，但是却具有很多优点：它较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征；其次，最常用也是最重要的几个数字特征都有明确的概率意义，同时具有良好的性质；最后，大部分最重要的分布函数都由一、两个数字特征决定，而数字特征较易求得。总而言之，我们可以看出随机变量的数字特征在概率论与数理统计中所占有的重要地位。
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1.2 研究内容
本文选取了三个维度来探讨高中生对离散型随机变的数学期望的理解，分别是记忆、领会（解释性理解）、分析（探究性理解）。根据这三个维度，主要研究以下几部分内容：
1. 对问卷所得数据进行描述性统计分析、Mann-Whitney-U 检验、Spearman秩相关检验、聚类分析，探讨高中生对数学期望的理解的基本现状以及层次水平；
2. 结合学生的具体作答，统计分析学生对数学期望的理解所存在的典型错误和困难。
3. 对于数学期望的教学给出针对性的具体建议。
表 2-1 数学理解的主要构成因素
第2章 文献综述
2.1 数学期望及其相关研究
2.1.1 数学期望
2.1.1.1 数学期望的起源概率论是一门研究随机现象数量规律的学科，它萌发于以掷骰子为代表的机遇性赌博活动，并从中孕育出了有关概率的一些最初的概念。其中“数学期望”就源于分赌本问题，这个问题曾对概率论的发展起了一定的作用，问题是这样的：
甲、乙两个赌徒的赌技相当，各出赌注a元，每局都不会出现平局的情况。他们约定，谁先赢 S 局，则得全部赌本 2a 元。当甲赢了1S 局，乙赢了2S 局（1 2S S ,S S）时，因故中止赌博。现问这 2a 元如何分才算公平？
由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期一些人对这个问题的种种不同解法，现在看来都不正确。这个问题的关键在于：求出假设赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率。正确的解法最早是帕斯卡（B.Pascal，1623—1662）在 1654 年与费马（P.de Fermat，1601—1665）的通信中给出的：
分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望（当时还没提出这个名称）及其与概率的关系有了启示。而帕斯卡与费马在 1654 年的一系列书信往来则在概率论发展史上起了重要作用。这几封信全是讨论具体的赌博问题（分赌本问题就是其中一个重要问题）。和之前的计算方法相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了。他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了。当然与前人一样，他们也用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法（他们没有使用概率这个名称）。他们引进了赌博的值（value）的概念，值等于赌注乘以获胜的概率。3 年后，惠更斯改“值”为“期望”（expectation），这就是概率论的最重要概念之一——数学期望的形成和命名过程。
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2.2 数学理解及其相关研究
2.2.1 数学理解的内涵
早在 20 世纪 40 年代，Brownell and Sims 就指出了理解的几个必要特征：首先，理解一个概念是指在一定的情境中能够去思考、去感觉、去操作它；其次，理解不是一个全有或全无的概念，而是或多或少的问题，可以对理解的水平进行区分；第三，理解会随着情境的变化而变化；第四，学习既需要理解概念的内涵及外延，也要能够用数学语言（符号）对其进行正确地表达；第五，由学生学习过程中表现出来的语言和行为可以推断他对概念的理解的水平如何以及困难是什么；第六，理解的发展取决于学生个体在学习过程中不断更新的、进一步的经验，而不是机械的重复训练；第七，成功的理解与教师的教学方式有很大的关系。
Skemp 认为，“对某个事物的理解，指的是将它同化进入一个适当的图式之中”。具体地说，理解是把新学习的内容同化、概括到已有的认知结构当中，从而逐步达到认识事物的本质和规律的一种思维活动。
李世锜在综合了一些认知心理学的观点后，提出：学习一个数学概念、法则或者原理，如果个体能够组织起有效的、适合自身思维特点的认知结构，并使之成为自身知识网络的一部分，那么就说明是理解了。其中所需要做的具体工作就是寻找并建立新、旧知识之间的联系，使概念的心理表象建构得比较准确，同时与其它概念的联系比较合理、丰富。
黄燕玲和喻平认为：知识的理解与知识的表征这两者之间有紧密的联系，对一个事物的理解，就是指该事物的性质能以某种特定结构或形式在个体的头脑中有效呈现并能够得到迅速提取。基于此，将理解解释为对知识的正确、合理、完整的表征。
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第 3 章 研究方法...........................12
3.1 研究对象........................ 12
3.2 研究工具............................ 12
第 4 章 研究结果.................................15
4.1 高中生对数学期望理解的基本分析......................... 15
4.2 性别差异分析.............................. 21
第 5 章 结论与建议............................25
5.1 结论 ...................................... 25
5.2 讨论 .............................. 25
第4章 研究结果
4.1 高中生对数学期望理解的基本分析
4.1.1 总体得分描述性统计
表 4-1 总体测试测试情况
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第5章 结论与建议
5.1 结论
根据本调查结果，可以得到以下结论：
1）绝大部分学生都正确记忆了期望的计算方法与性质，但在表达（概括）数学期望概念本身方面表现不理想。学生对数学期望的含义及数学期望与样本平均值的关系理解方面表现较差。主要表现在：完全不知道数学期望的含义；把期望值理解为实际试验中发生概率最大的取值；把期望值理解为多次试验后随机变量取值趋于的那个值。在实际的开放问题中，学生使用数学期望的意识较薄弱。
2）男、女生在记忆、解释性理解以及探究性理解三个维度上的得分均无显著性差异。
3）记忆与解释性理解的得分没有显著的相关性；解释性理解与探究性理解的得分之间具有一定的正相关性。
4）所有测试学生对数学期望的理解分为 3 个水平层次，每一层次学生在数学期望的概念的记忆方面表现差距不大，而在解释性理解和探究性理解这两方面有明显差异。
参考文献（略）