第 1 章 绪论
1.1 研究背景
推理和抽象是数学的显著特征，与这两个特征关联的思想也就成为数学的核心思想。人们通过推理，在基本概念和法则的基础上得到数学公式和命题。推理是一种思维过程，在现代社会，我们谈及的思维过程往往都是很复杂的，让人望而生畏。即便如此，我们仍然希望把数学推理的思维过程条理化。关于推理过程，笛卡尔(1596-1600)在《探求真理的指导原则》的第六个原则中说：“要从错综复杂的事物中区别出最简单事物，然后进行有秩序的研究。这就要求我们在那些已经通过演绎得到真理的推理过程中，观察哪一个事物是最简单项，以及观察这个项与其他项之间关系的远近，或者相等。”①笛卡尔提倡的方法的实质就是把要进行推理的事物排成一个系列，然后找出系列中的最简单项进行逐项判断。其中提到的系列就是由条件出发最后得到结论的证明过程。因此，为了保证整个证明过程的正确性，首先必须保证基本推理的正确性。波利亚在他的《数学与猜想》一书中讲到：“数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学”②，与之相匹配的推理方式分别是演绎推理和归纳推理。
初中数学主要学习内容包括数与式、方程（组）与不等式（组）、函数、几何证明、统计与概率等。推理论证能力的训练则从初一开始，融入到了几何、代数、概率统计等几个模块中，并贯穿于整个中学阶段的数学教育。比如代数解题中必须掌握的基础知识是关于数、代数式、方程的运算，每种运算过程都要求依据学过的定理、法则、公式等进行逻辑推理，把所有计算过程有理有据的写出来就是计算题的规范解法。如初中数学教材中通过类比温度计引入了数轴的概念，这是学生初次接触数形结合思想的知识点，通过实际生活推理得到数学新概念，可见，教材中的每个知识点在引入之前，均需要对该知识的合理性进行推敲，充分展现推理和推理过程。再比如初一第一章简单的图形世界中“展开与折叠”的教学中，通过实际操作、探索总结出正方体的展开图有 11 种，并要求学生画出所有的展开图，通过找规律巧妙记忆这 11 种展开图，在这个学习过程中，把直观操作和逻辑推理结合起来，探索立体图形展开成平面图形的过程与结论，同时促进学生的空间想象能力，以合情推理的方式为学生的探索提供努力的方向。
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1.2 研究问题
在数学教学过程中，培养学生的推理能力，是新课标对数学教学提出的要求，也是时代对教育提出的要求。初中生推理论证能力的培养需要重视循序渐进的过程，教师要在教学过程中转变教学方式方法，充分发挥学生的主体意识和自主探索能力，由浅入深地挖掘学生的思维过程，设置一些有意义的富有挑战性的问题，为学生提供发展推理能力的素材，让学生在探索、讨论、合作交流中不断得到提高。基于以上分析，提出以下 4 个研究问题：
（1）初中生数学推理论证能力总体水平现状；
（2）初中生数学推理论证能力在不同领域上的差异性；
（3）不同性别学生在数学推理论证能力水平上的差异性；
（4）对提高初中生数学推理论证能力提出教学改进建议。
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第 2 章 文献综述
2.1 推理的相关概念
2.1.1 推理的涵义
G·波利亚在《数学与猜想》一书中讨论了推理的特征、作用、范例、模式，并且还指出了推理的教学意义和教学方法①。他是通过对数学创造和数学学习等具体思维过程的再现、分析提出了推理的思维模式，开辟了一条与传统的思辨方式截然不同的新途径。他首先肯定了论证推理在确定数学命题的真理性和其科学体系建构中的作用，然后说数学与其他学科一样，数学知识也是从零散的猜想开始，通过归纳、检验等非论证的思维方式而发生发展，而这种思维方式就是推理。G·波利亚的主要成就是有效地拓宽了数学推理的范围，有关推理的概念的展开、模式概括和技能训练都是密切结合数学发现和数学学习的具体思维活动。他的不足之处是对推理的界定比较模糊和不完全。
1988 年，我国著名数学家徐利治指出：“要用 G·波利亚的思想改革数学教和教学方法，要培养 G·波利亚的数学工作者”，从而在我国正式拉开了把数学方法论和 G·波利亚的数学教育思想应用于课堂教学进行创新教育实践的序幕。从此，人们逐渐开始探索，在培养学生逻辑思维能力的同时进行推理能力的培养。
杨世明的《数学发现的艺术》是用 G·波利亚风格写出的数学方法论专著②。从数学史、数学课本、众多数学家的著作和手稿中采集了丰富的素材，归纳、研究了推理方法，对数学学习、解题、教学和研究中广泛应用的观察、实验、归纳、类比、联想、猜测、检验、推广、限定以及抽象、概括等思维方法进行了探讨。
目前，数学教育理论对推理的涵义说法众多，但仔细探究可分为两大类。一类从逻辑学的角度出发，认为推理是根据已知判断提出新的判断的思维式，推理有两种，论证推理与推理，前者回答如何证明定理的问题，后者回答如何发现定理的问题，并且认为，推理主要包括归纳推理和类比推理。我们把它称作狭义的推理。另一类从数学方法论的角度出发，不仅把推理看作推理，而且把它看作是科学的发现方法。因而，连同归纳、类比在内，把观察、实验、联想、猜测、直观等一系列科学发现的手段、方法都归于推理的范畴①。我们把它称作广义的合情推理。关于狭义与广义推理的划分，是从不同的角度出发对推理的认识，都是可以接受的，前者给出了推理本来意义上的涵义，后者把它提高到数学方法论的高度，扩大了推理的涵义。
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2.2 数学推理的本质
2.2.1 论证推理
论证推理，主要是指演绎推理，即根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程①。从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物中的个别特殊事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理。主要包括三段论、关系推理和数学归纳法。
（1）三段论
三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理。它包含两个直言命题构成的前提，和一个直言命题构成的结论，如图 2.1 所示。三段论借助于一个共同词项，将前提中的两个性质命题联结起来，从而推出一个新的性质命题的推理。
图 2.1 三段论
大前提：集合 M 的所有元素具有(或不具有)属性 P；小前提：集合 S 是 M 的子集(S M)；
结论：集合 S 的所有元素具有(或不具有)属性 P。
在演绎推理中，只要大前提小前提都真实，按照三段论形式推出来的结论必是真实的。
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第 3 章 研究设计.........................14
3.1 研究对象的选取.....................................14
3.2 研究工具的编制...............................14
第 4 章 研究结果与讨论...................28
4.1 数学推理论证能力的总体水平分析..............................28
4.2 数学推理论证能力的不同领域水平分析........................32
第 5 章 结论与建议............46
5.1 结论...........................................46
5.2 问题和原因.................................50
第 4 章 研究结果与讨论
4.1 数学推理论证能力的总体水平分析
4.1.1 总体能力现状分析
此次测试卷一共发放 150 份，实际收回 148 份，有效问卷 148 份。本次测试卷满分为 100 分，测试时间为 45 分钟。结果如下表 4.1。
表 4.1 学生总体得分情况
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第 5 章 结论与建议
5.1 结论
在数学核心素养的背景下，研究初中生数学推理论证能力现状，主要研究问题如下：1）初中生数学推理论证能力总体水平现状；2）初中生数学推理论证能力在不同领域上的差异性；3）不同性别学生在数学推理论证能力水平上的差异性；4）对提高初中生数学推理论证能力提出教学改进建议。
通过本次测试研究结果得到以下结论：
（1）本次测试学生总体成绩较为乐观，平均推理论证水平为 3.325，处于中等偏上水平。可见，大部分学生本次测试推理论证水平居一般推理水平和较高推理水平层次。
（2）从不同领域来看，概率、几何、代数三个领域整体成绩存在显著性差异。从平均分来看，概率的平均分最高，其次为代数，几何平均分最低，这些均与学生的思维发展程度相关。经概率、几何、代数三个领域两两差异性分析，发现概率与代数、概率与几何、代数与几何间均呈显著性差异。
（3）男女性别差异在总成绩上没有呈现出显著性差异，但男生的总平均分比女生高。从概率、代数、几何三个维度上来看也均无明显差异，但男生在每个领域的平均分均高于女生，说明本次调查对象中初二男生的逻辑推理能力总体稍高于女生。
参考文献（略）