运用辛格函数分析二维亥姆霍兹(Helmholtz)方程
摘要
本研究的主要内容是利用特征函数展开法并以辛格（Sinc）函数为研究基底函数来分析物理系统中二维亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）这一特征值问题。本研究的研究基础是一个具有空间变数x的亥姆霍兹方程式和一个二阶时间常微分方程式。由于时间解是一个正余弦函数的线性组合，而空间解则必须依赖边界条件，因此只要在给定边界条件下，我们就可以得到空间解。而本研究的最终目标就是利用定态薛丁格方程式化为亥姆霍兹方程式的形式，在有边界的条件下去求解特征值问题。
为了证实本研究的数值方法可行性，本研究拟采取的主要理论是：运用有基底函数的数值方法，解出边界为二维方形及圆形的亥姆霍兹方程式，并将模拟结果和解析解比较；同时将对比特征能量值（Energy），对能量值误差进行分析。接着本研究利用此数值方法解任意边界的亥姆霍兹方程式，选取小提琴形状等边界形状进行分析。
本研究最后将用这种方法推算微扰理论对交点线模式的影响，最后比较数值模拟与实际震砂实验的结果，分析两者之间有无良好的对应关系。本研究希望用这种方法推广研究振荡平板的交点线模式（Nodal line pattern），并推算微扰理论对交点线模式的影响。
关键词：特征函数展开法，辛格函数，交点线模式
Abstract
This research will use eigenfunction expansion method and Singh (Sinc) functions as a research base function to analysis of two-dimensional Helmholtz equations in physical systems (Helmholtz Equation) this eigenvalue problem.This research study is based on a space variable x of the Helmholtz Equation, and a second-order ordinary differential equation in time.Time solutions are linear combinations of a cosine function, space solutions must rely on boundary conditions, so long as the given boundary conditions, we can space solution.The ultimate goal of this research is the use of stationary State Xue Dingge equations into a form of the Helmholtz Equation, there are boundary conditions for solving eigenvalue problems.
In support of this study the feasibility of numerical methods, the study's main theory is to be taken: the use of numerical methods for basal functions, solve the border for the two dimensional square and circular Helmholtz Equation, and compare simulation results and analytical solutions;While comparative characteristic energy values, error analysis of energy values.Went on to study the use of numerical methods for the solution of any boundary of the Helmholtz Equation, select boundary shapes such as violin shape analysis.
This way the final projected perturbation theory on the influence of intersection line mode, final comparison between numerical simulation and actual results of the seismic experiment of sand, the analysis there is good correspondence between the two.This study hope to use such approaches to study the intersection of oscillating flat-line model and perturbation theory model of the intersection line of the projected impact.
Keywords: eigenfunction expansion method, Singh function, intersection lines mode
目录
摘要i
Abstractii
第一章 绪论1
1.1 研究背景与意义1
1.2 本文结构2
第二章 波动的类型与亥姆霍兹方程式3
2.1 绳波3
2.2 电磁波4
2.3 物质波7
2.4 亥姆霍兹方程式（Helmholtz equation）8
第三章 数值推导方法分析10
3.1 特征函数展开法10
3.2 基底函数的应用11
3.3 一维薛丁格方程式的数值推导方法14
3.4 二维薛丁格方程式的数值推导方法15
3.5 本章小结16
第四章 二维亥姆霍兹方程数值解17
4.1 二维方形亥姆霍兹方程势能17
4.1.1二维方形位能势解析解17
4.1.2二维方形位能势数值解21
4.1.3二维方形位能势解析解与数值解比较23
4.2 二维圆形亥姆霍兹方程势能27
4.2.1 二维圆形位能势解析解27
4.2.2二维圆形位能势数值解30
4.2.3二维圆形位能势解析解与数值解比较32
4.3 其他二维不规则边界亥姆霍兹方程35
4.3.1 二维不规则边界-地形35
4.3.2 二维不规则边界-小提琴36
第五章 交点线研究38
5.1 Chladni模式对比分析38
5.1.1 方形39
5.1.2 圆形41
5.1.3 小提琴图形42
5.1.4结果与讨论42
5.2 实际值计算分析42
5.2.1 干扰物对图腾的定性分析43
5.2.2 干扰物对图腾特征能量值的定量分析44
5.3 加干扰物的交点线波动行为探讨47
5.3.1 类比实验图形47
5.3.2 实验结果讨论50
第六章 结论与建议51
参考文献52
第一章 绪论
1.1 研究背景与意义
在日常生活中，人类无时无刻都可以体验到许多来自不同介质所产生的各种波动。波其实是一种扰动，一种平衡状态中的扰动，这种扰动会随着时间的经过，从空间中的某个区域传到另一个区域。除了拍击海岸的海浪是波外，声波、光、广播电台及电视台的无线电波、震撼地面的地震波、甚至是微小电子的物质波，在在的显示其实整个自然界到处都是充满着波动，换句话说，整个自然界都是被波动所支配。
参考文献
[1] D. J. Griffiths, "Introduction to Electrodynamics", Prentice Hall, 1998.
[2] 洪伟等著.电磁场边值问题的区域分解算法[M]. 科学出版社, 2005
[3] 刘继军著.不适定问题的正则化方法及应用[M]. 科学出版社, 2005
[4] 黄卡玛,赵翔编著.电磁场中的逆问题及应用[M]. 科学出版社, 2005
[5] J. Floresa, "Nodal patterns in the seismic response of sedimentary valleys", Eur. Phys. J. Special Topics 145, 63-75 (2007).
[6] J. L. Mateos, J. Flores,O. Novaro, T. H. Seligman, J. A. Alvarezostado, "Resonant response models for the Valley of Mexico II. The trapping of horizontal P-waves", Geophys. J. Int. 113, 449 (1993).
[7] J. L. Mateos, O. Novaro, T. H. Seligman, J. Flores, "Comment on: Can horizontal P-waves be trapped and resonate in a shallow sedimentary basin?" J. Int. 129, 212 (1997).
[8] C. Lomnitz, J. Flores, O. Novaro, T. H. Seligman and R. Esquivel, "Seismic coupling of interface modes in sedimentary basins: A recipe for disaster", Bull. Seismol. Soc. Amer. 89, 14(1999).
[9] H. F. Estrella, S. Yussim and C. Lomnitz, "Seismic response of the Mexico City Basin: A review of twenty years of research", Nat Hazards 40, 357 (2007).
[10] 张雄,刘岩著.无网格法[M]. 清华大学出版社, 2004
[11] H. J. Stockmann, "Chladni Meets Napoleon, "Eur. Phys. J. Special Topics 145, 15-23 (2007).
[12] N. Garcia, A. Damask and S. Schwarz, "Physics for Computer Science Students", Second Edition, Springer-Verlag (1998).
[13] D. Halliday, R. Resnick and J. Walker, "Walker Fundamentals of Physics", fifth Edition, John Wiley & Sons, New York (1997).
[14] A. Beiser, "Concepts of Modern Physics", 6 Edition, McGraw-Hill, 2002.
[15] J. Flores, O. Novaro, T.H. Seligman, "Possible resonance effect in the distribution of earthquake damage in Mexico City", Nature 326, 783 (1987).
[16] 张文生编著.科学计算中的偏微分方程有限差分法[M]. 高等教育出版社, 2006
[17] P. Amore, M. Cervantes and F. M. Fern′andez, "Variational collocation on finite intervals", J. Phys. A: Math. Theor. 40 13047-13062 (2007).
[18] 黎在良等著.断裂力学中的边界数值方法[M]. 地震出版社, 1996
[19] F. Stenger, "A Sinc-Galerkin Method of Solution of Boundary Value Problems", Mathematics of Computation, Vol. 33, No. 145, pp. 85-109 (1979).
[20] F. Stenger, "Numerical Methods based on Whittaker Cardinal, or Sinc functions", SIAM Review, Vol. 23, 165-224 (1981).
[21] B. Bialecki, "Sinc-Collocation Methods for Two-Point Boundary Value Problems", IMA Journal of Numerical Analysis, 11, 357-375 (1991).
[22] F. Stenger, "Summary of Sinc numerical methods", Journal of Computational and Applied Mathematics, 121, 379-420 (2000).
[23] 李大潜,秦铁虎编著.物理学与偏微分方程[M]. 高等教育出版社, 2005
[24] 秦海华. Helmholtz方程的若干反问题研究[D]. 兰州大学 2010
[25] Mohammed Abdo Mohammed Abdulelah（穆罕默德）.某些类型腔体的散射与逆散射问题的分析与数值计算[D]. 吉林大学 2011
[26] 邓志亮. 两类不适定问题的正则化方法研究[D]. 兰州大学 2010
[27] 郭玉坤. 某些正反散射问题的快速算法研究[D]. 吉林大学 2010
[28]Chladni Patterns in Vibrated Plates
[29]P. Bourke, "Chladni plate interference surfaces"
[30]T. D. Rossing, "Chladni’s law for vibrating plates", American Journal of Physics, Volume 50, Issue 3, pp.271 (1982).
[31] 王秉中编著.计算电磁学[M]. 科学出版社, 2002
[32] 马富明,常玉堂[编].数值逼近[M]. 吉林大学出版社, 2000
[33] 奚定平[著].贝塞尔函数[M]. 高等教育出版社, 1998
[34] (美)金建铭著,王建国译.电磁场有限元方法[M]. 西安电子科技大学出版社, 1998
[35] 林为干等著.电磁场理论[M]. 人民邮电出版社, 1996
[36] 李荣华编著.解边值问题的迦辽金方法[M]. 上海科学技术出版社, 1988
[37] 王清,徐博侯. 关于Helmholtz外问题的边界积分方程解的唯一性问题[J]. 应用数学和力学. 1990(10)
[38] 胡海昌. 调和函数边界积分方程的充要条件[J]. 固体力学学报. 1989(02)
[39]P. Amore, "Solving the Helmholtz equation for membranes of arbitrary shape: numerical results", J. Phys. A: Math. Theor. 41 265206 (2008).
[40]P. V. O'Neil , "Advanced Engineering Mathematics", 4 Edition, 1994.