水平集方法在拓扑优化中的连续性研究
导读：1987年，Sethian在研究这一问题时，用到了迎风格式数值方法来求解方程，并以此推演界面的变化，之后得出了界面运动的弱解，指出了求解双曲守恒方程需要满足的一定的嫡条件的定义也是由他首次给出的，Sethian的这一系列工作为水平集方法的提出打下了坚实的理论基础.由本站硕士论文中心整理。
第1章绪论
1.1结构体拓扑优化简介
1.1.1优化设计理论发展简史
结构设计在人类发展过程中具有重要地位，几乎涉及了人类活动的各个领域。在结构设计中，如何尽可能高效的利用材料，是人类一直以来面临的问题。在长期的实践探索后，结构优化设计的概念被提出。所谓结构优化设计，是考虑各种约束条件，来达到一个或者多个设计目标的最优实现过程。
优化设计是区别十传统设计言的。传统设计的基本流程是:首先设计工程师根据自己的理论知识和实际的工程设计经验，针对实际工程需要提出概念设计，具体表现为选择结构的类型和形式，选择材料，给出初始设计方案;其次，对初始方案进行结构分析，根据分析结果进行刚度、强度、稳定和振动频率等各方面的校核;然后，核查初始方案是否满足实际工程各方面的需求，如不符合，则有针对性的修改初始方案，再进行结构的重分析，重校核，直到满足为止。传统设计方法严重依赖十设计工程师的经验，初始设计方案的好坏至关重要，并目这种方法的重分析，重校核过程工作量很大，也常常难以得到理想状态的设计结果。
优化设计方法有别十传统设计方法，优化设计首先是根据既定的结构类型、形式、工况、材料和规范的各种约束条件(如结构的刚度、强度、稳定、震动频率和结构质量等)，提出优化的数学模型(包括目标函数、约束条件和设计变量);其次根据优化设计的理论和方法求解优化模型，得出设计方案;然后对设计方案进行结构分析、再优化、再分析，反复进行，直到收敛为止。优化设计方法可以使材料分布趋十理想状态，是结构设计的较高阶段法[[2]
结构优化设计在发展过程中先后经历了尺寸优化，形状优化和拓扑优化二个阶段如图1-1所示。早期的结构优化主要是尺寸优化，即不改变初始结构体的基本形状，改变结构体的某些尺寸来达到优化目的，也就是说，尺寸优化过程中设计域的基本形状是相同的，因此其优化效果具有很大的局限性。之后，随着结构边界优化问题的提出，出现了形状优化方法[3]。形状优化设计允许改变初始结构的内外边界，通过设计域边界的移动来寻找到材料的合理布置，是一种直接简明的方法;形状优化虽然可以改变初始设计域的基本形状，但仍然无法改变设计域的初始拓扑，因此也无法更大程度的使材料趋十理想布局。为了进一步提高结构设计中材料的使用效率，弥补之前各种优化方法均不能改变设计域初始拓扑的局限性，拓扑优化的概念被提出法。拓扑优化设计不仅允许改变设计域的边界位置，允许在设计域中出现新的空洞，即允许改变初始设计的拓扑。拓扑优化问题可以被看作材料在设计域中的分配问题[6]。
结构拓扑优化设计概念的提出最早可以追溯到1904年Michell的析架结构设计理论[7]。当时拓扑优化理论仅能用十单工况情况，还不能解决实际工程问题，并目，这一理论最早是针对离散体结构设计提出的。1981年，程耿东和Olhoff在研究变厚度板的最大刚度优化设计过程中重点探讨了连续体结构拓扑优化的概念，连续体结构拓扑优化理论也因此得到了重要的发展。随后几年中，Lurie Kohn不II Strang, Murat不II Tartar等在连续体拓扑优化理论上取得了一系列的研究进展，但由十连续体拓扑优化模型描述困难，优化过程数值计算量大，其总体发展在前期受到很大的制约。直到计算机技术口趋成熟，大规模的数值计算成为可能，各种成熟的拓扑优化方法才相继出现，具有代表性的主要有均匀化方法、密度惩罚方法、进化结构优化方法、冒泡法和水平集方法等。
1.1.2几种重要的拓扑优化方法
在水平集方法出现之前，已经得到良好发展并逐步应用十实际工程设计的拓扑优化方法有均匀化方法、密度惩罚方法、进化结构优化方法、冒泡法等，本节我们将对这几种方法逐一进行简单介绍。
均匀化方法(Homogenization Method)均匀化方法[‘“一‘7]是拓扑优化理论中具有划时代意义的一种方法，它在1988年由Bendsoe不II Kikuchi}l8]率先提出;这一方法的提出被认为是连续体结构拓扑优化的研究进入了一个全新阶段的开始。均匀化方法的主要思想是认为设计区域的材料是由多孔微结构构成，如图1-2所示，图中，a和b代表微结构的尺寸参数，“代表微结构的位置角度参数;设计区域局部的材料特性由该局部的微结构特征(孔的尺寸和位置)决定，通常把材料微结构的体积比和弹性张量作为设计变量，通过设计孔的数量、形状和尺寸来实现结构的材料设计。均匀化方法不需要任何几何假设可以被应用到任何有序或无序的微结构，在数学观点上是一种极限理论，它具有完备的数学理论基础，并目_拓扑优化解具有存在性和唯一性。另一方面，均匀化方法需要引入大量的设计变量来模拟微结构单兀的尺寸和微孔的方向，需要计算每个单兀的均匀化方程和!材料常数，计算量庞大，改进的一些算法也很难提高运算速度和得到全局最优解。此外均匀化方法实际上是一种理论上的材料设计，由十材料加工条件等限制，其计算结果往往不能直接应用十工程实践。虽然存在以上所述的各种缺点，均匀化方法仍然在拓扑优化理论中占有重要地位，因为首先它可以计算出拓扑优化中的理论最优解，其次，很多工程应用的拓扑优化方法也是以此为基础发展起来的。
密度惩罚方法SIMP ( Solid Isotropic Microstructure with Penalization)密度惩罚方法可以看作是均匀化方法的一种发展。这种方法以离散单兀材料的常数作为设计变量，最终离散的优化问题为0和1的整数规划问题，但是这种优化方法的解是病态的[[21 ]，为了解决解的病态问题，就要放松设计变量，用连续的设计变量代替离散的设计变量的0和1整数规划问题，设计变量可以选择为单兀的密度户或者单兀的弹性模量E，如图1-3所示。这种放松带来了中间密度问题最终可以通过使用惩罚项来消除，其方法是材料特性用单兀密度的指数函数来模拟，最后得到的单兀密度值小十某个数值的就可以用0代替大十这一数值的可以用1代替:这一理论下的中间密度材料很难在物理上给子更好的解释，但1999年Bendsoe和Sigmund指出很多情况下这个理论材料的插值模型可以用符合一定条件的微结构来模拟[22]。2001年Rietz}23]指出SIMP方法在一定约束条件下能够保证解是存在的，2004年Martinez给出了密度惩罚法的收敛定理。需要注意的是密度惩罚方法和均匀化方法的区别联系，密度惩罚方法中的中间密度只是优化工具，最终结果仍然是材料单兀的0,1分布均匀化方法接受中间密度为最终设计结果，并通过微结构来实现。
进化结构优化方法(Evolutionary structural optimization，简称ESO)进化结构优化方法最早在1993年由谢忆民和Steve共同提出。这种方法的基本思想很简单，即逐步移除涉及区域内不必要或者低效的材料，逐渐进化来实现优化过程。该方法可以采用已有的有限兀分析软件来进行受力分析，然后通过数值迭代实现优化算法，通用性较好，但这种方法的理论基础还不太完备，并目_能够很好处理的问题的类型比较单一，主要是析架和铰链问题，对十其他结构优化问题的处理还有待发展。
冒泡法(Bubble冒泡法[a}]在1994年由Eschenauer, Kobelev不II Schumacher提出，其直接目的就是解决形状优化中拓扑固定的局限性，其基本思想在十用开孔来扩展优化空间，当一个设计问题不能通过形状优化得到进一步改进时，就在结构中插入一个小孔，然后再通过形状优化的方法来改变孔的形状和大小，孔的始位置由特定特征函数的极小点来确定，具体方法在文献「27]中有详细的论述，事实上，这一特征函数就是结构的拓扑导数。
1.2水平集方法的起源和发展
一般意义上的水平集方法最早被应用在研究运动界面追踪的问题上，一种典型的运动界面追踪问题就是波的传播问题，在这一问题中，为了跟踪波面的传导，需要求解相应的双曲守恒方程，1987年，Sethian在研究这一问题时，用到了迎风格式数值方法来求解方程，并以此推演界面的变化，之后得出了界面运动的弱解，并目_指出了求解双曲守恒方程需要满足的一定的嫡条件嫡条件的定义也是由他首次给出的，Sethian的这一系列工作为水平集方法的提出打下了坚实的理论基础。1988年，Oshe:和Sethian首次正式的提出了水平集方法这一概念，他们给出了水平集方程的定义及其稳定的高精度数值解法。水平集方法的基本思路在十低一维的几何界面可以表示为高一维函数的水平集，比如二维曲线可以被表示为二维曲面函数的水平集，类似的还可以扩展到更高维情况，之后将界面的求解过程转化为高一维函数即水平集函数的求解过程。因为水平集函数可选择为简单的标量函数，因此其求解过程可以在固定的网格上进行，并目水平集方法可以自然的处理界面的断裂和融合等拓扑变化。
水平集方程本质上是典型的Hamilton-Jacobi方程，}fi1水平集方法的核心是水平集方程的求解，因此Hamilton-Jacobi方程的求解是水平集方法发展中不可回避的重要。Crandall III Lions建立了Hamilton-Jacobi方程的粘性解理论这一理论能够通过计算机模拟精确地找到类如水平集方程这样偏微分方程的连续唯一解。粘性解理论是求解Hamilton-Jacobi方程的基础理论。传统的Hamilton- Jacobi方程求解方法中，数值计算在整个计算域上进行，但在水平集方法中，这并不是必要的，因为我们关心的只是零水平集邻域内水平集函数的值，如果计算整个计算域上的值，计算量很大，相对效率很低。为了降低水平集方法的计算量，提高数值算法的效率，Chopp在1993年提出了窄带水平集的概念，随后的时间内很多人就此概念作了进一步研究，其中取得显著成果的是Adalsteinsson和Sethian，两人在199_5年提出了具体的窄带水平集算法[mo，这种算法的突出优点在十求解水平集方程的高效性，原因是它大大缩小了数值计算域，其数值计算在材料界面附近的一个窄带内(也就是零水平集的邻域)进行。水平集方法另一个需要注意的问题是零水平集捕捉精度的问题，零水平集捕捉精度不但与数值计算本身的精度有关，也和水平集函数的梯度有关，高捕捉精度的获取要求水平集函数梯度值适中，既不要太大也不要太小，为此，Chopp十1993年还提出了水平集函数符号距离重新初始化的概念[yak，也就是使水平集函数在界面追踪过程中始终保持为符号距离函数，其函数曲面变化率适中，利十零水平集的获取。为了实现水平集函数的距离初始化，1994年，Sussman, Smereka不I I Osher提出了偏微分方程求解法，其基本思路是首先构造一个偏微分方程，然后通过迭代求解该偏微分方程来实现符号距离的重新初始化，这一方法能够始终保持水平集函数为符号距离函数，并目_在构造整个计算域的符号距离时，能达到任意阶的精度，这一方法的关键在十偏微分方程的稳态解的获取，为了更高效的求出稳态解，1996Sethian构造了一种新的偏微分方程求解方法，就是后来的快速步进法。
在实际的界面追踪问题中，界面的运动速度往往仅在界面边界上有定义，水平集函数本身是在整个计算域取值的，因此在水平集方程求解时就需要将界面边界上的运动速度扩展到整个计算域，至少是界面邻域内。为了实现水平集方程的界面速度扩展，Chen和Merriman等在1997年首先提出了通过偏微分方程求解的算法，这一算法在1999年Fedkiw的多相流界面追踪计算中得到了采用。水平集方法中的重要部分，符号距离初始化和速度扩展，都可以通过偏微分方程的求解来实现，因此1999年Peng和Merriman对此做出了总结和发展，提出的基十偏微分方程的快速局部水平集算法，这进一步完善了水平集方法[36]。随着研究的更一步深入，1999年Sus sman和Fatemi指出，应用偏微分方程法进行符号距离重新初始化时，如果数值迭代次数过多，则相应的零水平集位置可能发生变化，这是水平集方程求解中不希望发生的情况，同时他们提出，这种情况是可以避免发生的，方法是加入体积约束。
水平集方法在界面追踪问题上被证明有着良好的效果，一般意义上的连续结构体拓扑优化也可以看作一种界面追踪问题。特别是最终设计结果中不采用中间密度时，拓扑优化的结果事实上就取决十结构体的内外边界，只要能追踪到结构体的内外边界，在实际效果上就已经取得了拓扑优化的结果。
水平集方法第一次被应用十结构体拓扑优化是在2000年，这一工作是由Sethian和Wiegmann首先完成的，他们在把水平集方法引入结构体拓扑优化领域时，最初尝试的是等应力结构设计，随后两人研究总结出了一种高边界分辨率的刚性结构拓扑优化方法，这种方法一方面根据结构应力分布，给定带孔的初始拓扑，通过孔洞的融合或移动来改变结构拓扑;另一方面，根据边界处应力大小决定边界移动速度，并应用水平集模型跟踪结构边界的运动和拓扑变化。2001年，Osher和Samosa也开始研究如何把水平集方法应用十拓扑优化领域，并取得了实质性的效果，他们通过一个多相材料组成的鼓膜的优化设计的算例[39]证明了这一方法的有效性，值得指出的是在这一算例中，为了获得水平集的运动速度场，两人采用了泛函变分的技术。在之后的水平集方法研究工作中，为了获取水平集的运动速度场，人们又提出了新的方法。2003年，Allaire, Jouve, Toader}4o味I I香港中文大学的土煌[41]等发展了灵敏度分析技术，以此为基础来获得水平集运动速度场，使拓扑优化中的水平集方法得到了新的发展。
如今，水平集方法已经被证明是一种有效的拓扑优化方法，虽然目前它可以处理的拓扑优化问题还比较简单，但由十它相对十传统拓扑优化方法有着突出的优越性(这一点我们将在下一节论述)，水平集方法还是吸引了越来越多的人进行研究，在提高这一方法的通用性和计算效率上，新的改进方法还在不断的被提出来。总之，水平集方法是拓扑优化的一个新的发展方向，正处十蓬勃发展中。
参考文献
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摘要 4-5
Abstract 5
第1章 绪论 8-16
1.1 结构体拓扑优化简介 8-12
1.1.1 优化设计理论发展简史 8-9
1.1.2 几种重要的拓扑优化方法 9-12
1.2 水平集方法的起源和发展 12-14
1.3 课题研究的背景和意义 14-15
1.4 课题主要内容和结构安排 15-16
第2章 水平集方法的基本理论 16-22
2.1 界面追踪的水平集方法 16-19
2.1.1 材料界面演化的一般表达 16-17
2.1.2 材料界面演化的水平集表达 17-19
2.2 水平集方程的求解 19-21
2.2.1 H-J方程的数值解法 19
2.2.2 初值设定和符号距离初始化 19-20
2.2.3 速度扩展 20
2.2.4 算法流程总结 20-21
2.3 本章小结 21-22
第3章 水平集方法在拓扑优化中的应用 22-30
3.1 结构体拓扑优化的一般数学表达 22-23
3.2 结构体拓扑优化的水平集表达 23-25
3.2.1 拓扑形状的水平集描述 23-24
3.2.2 优化过程的水平集表达 24-25
3.3 拓扑优化水平集方程的求解 25-29
3.3.1 灵敏度分析 25-27
3.3.2 速度场的确定 27-28
3.3.3 拓扑优化水平集方程的求解流程 28-29
3.4 本章小结 29-30
第4章 拓扑优化水平集方法改进 30-39
4.1 经典水平集方法的局限性 30-31
4.2 拓扑导数理论 31-35
4.2.1 拓扑导数的定义 32-33
4.2.2 拓扑导数的计算 33-35
4.3 拓扑导数理论对水平集方法的改进 35-36
4.4 改进后的水平集算法 36-38
4.5 本章小结 38-39
第5章 算例分析 39-57
5.1 经典水平集算法实例 39-45
5.2 经典水平集算法局限性证明 45-53
5.3 改进的水平集算法实例 53-56
5.4 本章小结 56-57
结论 57-58
参考文献 58-62
致谢 62
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