可靠指标法深入研究与应用
导读：实际工程中随机可靠性分析模型得到越来越多的应用，鉴于此种方法已经发展的相当成熟，其必然会成为处理不确定性最为普遍的方法。由本站硕士论文中心整理。
1绪论
1. 1工程结构中的不确定性
工程结构的设计、施工、使用、维护阶段等不可避免的存在各种不确定因素。这些不确定因素包括工程结构材料性质的不确定性和结构构件几何尺寸的差异、结构所处夕部环境的复杂多变性、安装施工过程中的误差和人们对于结构失效模式的认为假定的刁确定性等等。
根据国际标准《结构可靠性总原则》(IS02394,1998)[']，这些影响结构安全、适用性耐久性的不确定性可以分为三种类型:(1)随机变异的不确定性:由于事件发生的不充分，造成事件出现与否表现为随机不确定性;(2)知识不完备，现阶段认识范围的局陈性，引起的不确定性:人类对一定的事物总有自己的一定的认知范围，而范围的大小阳着社会的发展而不断地扩展，对事物的认知深度和广度不断地加深;工程结构中的抗丈模型和荷载模型，以及结构的失效模式都是在总结以前的经验和实验的基础上提出的，以后肯定会不断的发展和完善;(3)统计的不确定性:对于各种不确定参量的统计参数是根据试验或者观察不断统计而得出的，这些数据的得出是在一定的样本空间中得到的;为了降低这种不确定性只有不断地扩大样本空间，增加试验次数，多做观察等方=1可减少这种不确定性。
2.不确定性的处理方法
针对不同的不确定性需采用不同的处理方法，包括随机可靠性分析模型、非概率不确定分析模型和模糊性不确定性分析模型。
随机可靠性分析模型‘2-a]是其中的一种。在人们处理各种不确定性因素时，首先考虑使用的分析方法也就是随机性分析。为了确定统计参数的概率密度分布函数，随机亘靠性分析就必须得到足够多的数据。实际工程中随机可靠性分析模型得到越来越多的应用，鉴于此种方法已经发展的相当成熟，其必然会成为处理不确定性最为普遍的方法。
对那些不确定参量的统计信息不易得到，而只能获得统计参量的上下界即参量的咬化范围的工程问题，非概率不确定分析模型(non-probabilistic uncertainties)或者区间不动定分析模型(unknown-but-bounded uncertainties)得到了充分的发展。这类问题的数学模星主要有凸集合模型[}-6珠口区间模型[7-8]两大类。
模糊性不确定性分析模型主要应用于那些不可能给某些事物明确的定义或者评价标准，使得事物处于一种中间过渡状态的结果的工程结构问题[9-10]a
随机可靠性分析模型包括:随机变量模型、随机过程模型和随机场模型。鉴于随机变量模型最为简单、实用，况且精度也满足工程应用的要求，在实际工程中应用最。
本文主要研究此种模型的计算问题以及基于此的算法研究。
3.概率极限状态设计法的基本原理
在工程结构设计中，对于结构可靠度的处理大致采用了允许应力设计法、破损阶段设计法和极限设计法。允许应力设计法、破损阶段设计法主要以安全系数为准则，即将结构的可靠度用一个经验系数来表达，只要这个安全系数足够大就可以保证所设计的结构就是100%安全可靠的，完全没有考虑各种设计变量的不确定性。极限状态设计法开始考虑影响结构可靠度分析有关因素的随机性，在确定设计表达式时部分采用了概率的方法。
根据概率理论应用的程度分为半概率法(水准一)、近似概率法(水准二)、全概率法(水准三)。目前国内外实际工程结构设计都是以近似概率法为基础，规定了工程结构可靠度设计的基本原则和方法[11]。而全概率法(水准三)是对整个结构采用精确的概率分析，运用随机变量或随机过程的概率模型来描述所出现的各种基本变量，用结构的失效概率直接度量结构的可靠度。若在一般工程结构设计中采用全概率法，尚需要大量的工作要做。
采用概率极限状态设计法进行结构可靠度分析必须首先明确结构的极限状态。极限状态的涵义是整个结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该功能的极限状态[12]。如果用结构的荷载效应s和结构抗力R等设计参数(即基本随机变量)可以以随机向量X一(X,,XZ. . . , Xn)的形式来表达，用g(X)描述结构工作状态的函数(称为结构的功能函数)，则结构的工作状态可表示为:Z = g(x);因此结构具有以下各种不同的状态，以这些状态的不同来划分结构的失效与
否:结构的失效状态表示为Z<0，结构的极限状态表示为Z二0，结构的可靠状态表示为Z>0。工程结构的设计存在两种基本的极限状态类型:承载能力极限状态和正常使用极限状态。
3. 1承载能力极限状态
这种状态对应于结构构件或结构达到结构的最大承载能力或不适于继续承载的变形。结构构件或结构的承载能力极限状态主要表现在以下几个方面的状态形式:(1)结构构件或连接因材料强度被超过而破坏或因变形过大而不具有继续承载变形的能力，或者超过了使用者的要求范围等;(2)由于结构发生塑性变形，结构己经形成足够多的塑性铰，导致结构变为机动体系;(3)对于一些高柔的结构物或者构件，由于局部失稳或者整体失稳，而导致构件或结构丧失稳定;(4)对于一些高耸建筑物和一些支挡构筑物，容易整体结构或结构的一部分作为刚体失去平衡等。
3. 2正常使用极限状态
正常使用极限状态对应于结构构件或结构达到正常使用或耐久性能的某项规定限值。当构件或结构出现下列状态之一时即认为超过了正常使用极限状态:(1)影响正常使用或耐久性的局部破坏，如混凝土结构的保护层的碳化，造成钢筋保护层的脱落等;(2)结构发生影响正常使用的损伤(如腐蚀);(3)影响正常使用或有碍外观的变形;(4)对于一些对振动特别敏感的结构物，如跳水台等，若发生过大的振动，结构物也就无法正常使用等。
3.4结构可靠度研究状况
工程结构的设计开始引进可靠度分析方法大概从上个世纪的中叶开始，自从那以后人们着手把概率论和数理统计的思想应用于可靠度分分析中，对于不确定的变量应用采用随机性变量来看待。1969年，美国的柯涅尔(C}A}Cornell) }13}，提出了与结构失效概率相对应的可靠指标刀法，以这种简单易懂的方式来作为衡量结构安全度的一种统一数量指标，首次提出建立以二阶矩模式来表达结构安全度的思想，后来这种方法不断地被接受和进一步的验证与深化。1971年，加拿大的林德((N}C }Lind)对这种模式采用分离函数方式，将结构计算出的可靠指标刀，采用分项系数的形式来表达，以适应实际工程结构中设计人员已经熟悉的设计模式，以方便设计人员的应用【’“]。在国内主要以大连理工大学的赵国藩院士为首的许多学者对工程结构的可靠性展开了深入的研究，他们在吸收国外先进理论的同时，不断探索新的思路和结合我国工程结构中的实际情况加以汇总分析，以适应我国的工程结构设计，为我国可靠度理论的研究和应用做出了重要贡献。我国的设计规范已完全和国际接轨，采用国际上正在发展和推行的以概率统计理论为基础的极限状态设计方法。工程结构可靠度的设计以概率统计理论为基础的原则，己在各行业规范中颁布实施，为我国经济建设实现可持续发展指明了方向。
1.5结构可靠度分析方法
结构可靠性按照国际标准《结构可靠性总原则》(IS02394, 1998)的定义:结构可靠性是结构或结构构件在规定条件下和设计工作期内满足某项或各项规定功能要求的能力，而可靠度则是结构可靠性大小在概率意义上的具体量值。力学、概率论和数理统计的知识为可靠度理论的发展与应用打下了坚实的基础。
结构可靠度的计算可分为构件可靠度的计算和系统可靠度的计算。失效模式的找寻是系统可靠度分析最主要的任务，而对于一个一般结构，对应的失效模型就可能很多，更不用说实际工程结构的失效模式了，同时对应于不同的失效模式要进一步验证具体哪个失效模式是最危险的;在此基础上计算此种失效模式的失效概率。鉴于可靠度分析自身的特点，需要的参数较多且计算相当复杂;而对于系统可靠度分析的研究还处于初级阶段，仍需要大量的工作来不断探索这类结构体系可靠度分析具体可行的理论与方法。本文主要研究构件可靠度的计算问题，构件可靠度计算的方法主要有:一次二阶矩法、高次高阶矩法【‘“一’”]、蒙特卡罗法、响应面法[[z9]及随机有限元法[4]等。结构的可靠指标定义在功能函数的各随机变量服从正态分布的基础上的，此时结构
实际工程问题中功能函数大多是非线性函数，再者各随机变量也未必都服从正态分布，因此功能函数也就未必服从正态分布，也就不能直接计算结构的可靠指标。因而有必要采取近似方法来得到结构的可靠指标。
1. 5. 1一次二阶矩法
一次二阶矩方法为一种近似计算结构可靠指标的方法，因为该近似方法只考虑功能函数按泰勒级数展开的一次项，而且只需要各随机变量的一阶矩(均值)和二阶矩(标准差)，所以称为一次二阶矩方法。此种方法又可分为以下四种各具特色的方法:中心点法、验算点法(JC法)[3]、映射变换法[16]和实用分析法[17)0
可靠度研究初期，一些学者提出将功能函数在随机变量的均值点作泰勒级数展开，且只保留展开项的一次项，然后近似计算功能函数的均值与标准差，然后将求解出的均值和标准差的比值作为结构的可靠指标。
该方法计算简单，不需要迭代计算，数值计算简洁。但同时此方法也存在以下缺点:(1)由于将非线性功能函数在随机变量均值处展开，展开后的线性极限状态平面可能失真，也就是说与原始的极限状态曲面相差很大;(2)对应于同一个失效模式采用不同的数学表达式来表达，由不同的数学表达式计算的可靠指标可能没有可比性;(3)不考虑随机变量的概率密度函数和概率分布类型，只是截取了随机变量的均值与标准差来计算结构的可靠指标。由于中心点法的以上缺点，因此其计算结果较为粗糙。本方法一般用于对可靠度要求不高的结构中，比如结构的正常使用极限状态的分析，此时可靠指标较小:而对于结构承载能力极限状态的可靠指标用中心点法计算会产生较大的误差，这时可使用下面介绍的验算点法。
很多学者针对中心点法的弱点，提出了相应的改进措施。Rackwitz和Fiessler提出的后经Hasofer和Lind加以改进，此种方法后来被国际结构安全度联合委员会((JCSS)所推荐。其中JC法就是其中的一种。验算点法相对于中心点法采取了以下两点的改进措施来提高可靠度指标计算的精度:(1)为了使失效概率pr与求得的可靠指标刀之间有个明确的对应关系，首先采用“当量正态化”的措施将非正态分布的随机变量当量化或者等效为正态分布的随机变量，随机变量的概率分布类型就可以在刀中合理地反映出来;(2)在验算点X' (X}}, Xz’一戈’)处对极限状态功能函数进行线性展开，而不是在中心点处展开造成近似曲面的失真。
验算点法对不服从正态分布的随机变量采用“当量正态化”，转化为正态分布的随机变量，并且此种方法的计算工作量并没有增加很多，对功能函数的近似比较接近，求得的可靠度指标精度较高。根据求得的“验算点”设计值，此设计值满足极限状态方程，设计人员根据规范给出的标准值并计算分项系数来完成工程结构的设计。在以上两种方法基础上，目前还出现了某些改进的计算方法，其中以设计点法为代表。
对于可靠度分析中若随机变量不服从正态分布，为了使得求解的可靠指标的精度更高，有必要把非正态随机变量转化为正态分布随机变量。JC法采用“当量正态化”将非正态随机变量“当量”为正态分布，从而利用在随机变量服从正态分布的情况，采用基本的可靠度计算方法来计算功能函数的可靠指标。映射变换法[16项}J是同样采用一种变换方法将非正态随机变量转化为正态分布随机变量，只不过这种方法采用的是数学变换的手法。与JC法相比，映射变换法只不过不采用当量正态化的过程，而是转向映射变换的过程，这两种方法的思路和计算工作量是基本差不多的。JC法采用当量正态化的方法，在概念上给大家的感觉是比较直观，但数学推理并不那么的严密，而映射变换法在数学上更严密一些。因而由此可以看出为了可靠度有一个坚实的理论基础，结构可靠度分析应以采用映射变换法将非正态随机变量正态化为标准正态随机变量。
在帕洛赫摩(Paloheimo)和汗拉斯(Hannus)提出的加权分位值方法的基础上，我国赵国藩院士对这种方法加以改进而得出的方法，称之为实用分析法。采用当量正态化的方法，将原来的非正态随机变量X;按对应于Pr或‘一弓有相同分位值(X;r)的条件，用当量正态变量X;来代替，并要求当量正态变量的平均值与原来的非正态变量X;的平均值相等。由文献「17」的分析可知，对于工程设计应用，实用分析方法比国际安全委员会及我国的可靠度设计统一标准采用的JC法相比，计算较为简单，并且精度与其他方法相比相差不大。
5. 2高次高阶矩法
大多数情况下，实际工程中可靠性的分析主要采用一次可靠度分析方法，一次可靠度计算方法简单方便，能够满足工程应用的要求，因此得到了广泛的应用。但当功能函数非线性程度较高时，或者随机变量的分布类型远远偏离正态分布时，就可能造成一次可靠度的分析结果与精确解相差过大的可能性。为了解决这个问题，可以把功能函数按泰勒级数展开时不再只取一次项，可以取至二次项来对功能函数来近似模拟，这就是二次可靠度分析方法(SORM) ['”一‘”]，如果对计算结果精度要求更高的话可以取三次、四次等来近似功能函数。另外还有其他的可靠度分析方法，如矩方法[[zo】等。
下面着重介绍一下二次四阶矩法:
如果要使得一次可靠度计算方法和二次二阶矩方法所得结果满足精度要求必须有以下条件的成立，(1)各随机变量概率分布类型首先必须是正确的;(2)有关各随机变量的统计参数必须是准确的。而随机变量分布概率类型是应用数理统计的方法经过概率分布的拟合优度检验后推断确定的，统计参数是通过统计估计获得的。分布概率类型及统计参数的准确与否依赖于样本的容量、统计推断及参数估计的方法。
四阶矩法没有这些要求，其是以最大嫡原理为基础来构造随机变量，并以其前四阶矩统计参数来表达概率密度函数，并用变分法计算结构的失效概率[[21 ]0
5. 3蒙特卡洛法(Monte Carlo)
Monte Carlo模拟法又称随机抽样法或统计试验法，是试验数学的一个分支;该方法进行大量统计试验来随机抽样，依此求得随机变量的统计特征值(如均值)，将统计特征值作为待解问题的数值解。采用Monte Carlo模拟法基本步骤分为以下几步:(1)利用随机数生成器生成0到1之间服从均匀分布的随机数;(2)利用等概率转换或者其他方法，将得到的服从均匀分布的随机数转化为实际各随机变量的分布类型的对应值;(3)将转化后的随机变量的值代入功能函数，判断功能函数的值，此次模拟结束，继续下次模拟，直到达到规定的模拟次数为止;(4)统计功能函数值的分布情况，若功能函数的值大于0，则表示结构是安全的，小于0则表示结构失效;由此定义失效概率为功能函数失效的次数与总的模拟次数的比值。
Monte Carlo模拟法优点是程序易于实现，稳健性好，可以考虑随机变量的任何分布类型，功能函数的具体形式对计算结果没有影响。但这种方法的计算效率太低，为了获得一定精度的计算结果，功能函数的计算次数有时相当的大，计算花费过大。更为重要的是若功能函数的求解如果要用有限元分析，情况将更加糟糕。Monte Carlo模拟法的抽样方式有:直接抽样法和改进抽样法。改进抽样法主要有重要抽样法[fez]、条件期望抽样法[23]、轴正交抽样法[24]、方向抽样法[25-26]等。
1.5.4其他方法
在实际工程中结构构造非常复杂，功能函数非线性程度较高，既使对其进行确定性分析，都需要借助于有限元等数值分析工具来进行分析，更不用说那些具有不确定性变量的结构，其分析量会很大。同时在这种情况下进行结构可靠度分析时，结构的功能函数往往不能给出明确的表达式，即不能显式表达。基于此，工程界广泛采用响应面法[[29]随机有限元法[28]及蒙特卡罗结合有限元法[27]来进行求解。其中，响应面法是通过选用一个比较接近并且可以显式表达的功能函数来近似代替不能显式表达的功能函数，即首先通过有限元数值分析计算拟合出一个响应面以代替未知的、真实的极限状态曲面，使这个拟合的极限状态曲面不断接近真实的极限状态曲面。此方法的优点是直接利用己经广泛应用的确定性有限元分析原理和计算程序，并且思路清晰，可与确定性分析相连接，以确定性分析为基础，在实际工程中得到广泛应用。
1. 6功能度量法
与可靠指标法相对应，同时逆可靠分析[[30-31 ]也得到了前所未有的发展。Tu et al. [32]提出可靠指标法(Reliability Index Approach,RIA)只是表征RBDO问题中概率约束的其中的一种途径，从可靠性分析更广泛的含义来看，结构的概率约束也可以方便的利用功度量法((Performance Measure Approach, PMA)来描述。PMA可以清晰的表述为结构所计算功能函数的概率功能度量值要不小于0，其中概率功能度量值的求解是在许可可靠度标准下所确定的约束条件下，所求得的最小功能函数值。与可靠指标法相比，功能度量法被认为更高效、稳定性强和较少依赖于随机变量的概率分布类型[33-34]，从而基于PMA的RBDO求解相对传统RIA具有显著优势。
功能度量法优化模型表现为在许可可靠指标为半径双，的球面上寻找功能函数的最小的点，而可靠指标法则是在极限状态函数超曲面上找寻坐标原点到此曲面的最短距禺。
目前国内对可靠指标法研究的比较多，功能度量法方面的研究较少。易平在总结国外研究成果的基础上，指出功能度量法统一用求极限状态功能函数的最小值来求解的正确方法，更正了以往文献【61-62]中相对于正负可靠指标，功能度量法求解功能函数的极大值与极小值的错误提法[[35]。鉴于功能度量法的高效，对它的研究以后肯定会进一步的加深与拓宽。
1.7区间分析
在实际中，如海洋石油平台，一些花费特别昂贵的实验以及一些实验数据很难得或者要持续很长时间的观察才能得到，鉴于这些结构的样本数据的缺乏，表述这些结构的随机变量的概率分布类型以及概率密度函数可能难以准确确定;或者隶属度函数有时难以确定;若只凭主观感知就给这些影响结构安全可靠性的因素以人为假定的话，分析得出的结果是不可信的。在实际的工程结构设计中，一些变量的具体的分布类型可能很难确定，但变量的变化范围总是可以确定的，若得知某一变量的变化范围超出允许范围，此变量值是会被摒弃的;为减少人为假定因素的影响，运用区间分析求解不确定性问题的思想被提了出来，这一分析方法将不断地在工程结构中得到应用。
1994年Ben-Halm[36]在基于凸集理论的基础之上，首次提出结构可靠性分析的非概率可靠性概念。已知不确定参量在一定范围内的波动，若此不确定参量的波动范围在结构系统所允许的范围之内，我们有理由相信此系统是可靠的。Elishako川37]在Ben-Haim所提理论的基础上提出一种可能的度量方法，非概率可靠性的分析同非概率不确定的参量一样具有一定的变化区间，而且这个变化区间有一定的范围。而求得的可靠性指标是一个区间而非具体量值;具体区间的边界是按照传统的安全因子法进行区间运算求得。这种方法其实是区间运算方法与安全因子法的结合，其区间运算的过程比较复杂，对于简单的结构可靠性分析计算还行，对于复杂的问题则显得无能为力。Ben-Haim[38]于1995年在原概念的基础上，以结构系统能够确定的不确定参量的最大变化区间来度量结构的可靠性，此种定义也就是对结构可靠性的鲁棒性的分析。
目前，在非概率结构可靠性分析中，以凸集模型为基础，结构非概率可靠性理论主要有以下两种类型:基于区间的结构非概率可靠性分析模型和基于凸集合模型的结构非概率可靠性分析模型。这两种模型研究的内容主要涉及结构非概率可靠性度量、基于非概率不确定性的结构优化设计等方面。
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摘要 4-5
Abstract 5-6
1 绪论 9-19
1.1 工程结构中的不确定性 9
1.2 不确定性的处理方法 9-10
1.3 概率极限状态设计法的基本原理 10-11
1.3.1 承载能力极限状态 10-11
1.3.2 正常使用极限状态 11
1.4 结构可靠度研究状况 11
1.5 结构可靠度分析方法 11-16
1.5.1 一次二阶矩法 13-15
1.5.2 高次高阶矩法 15-16
1.5.3 蒙特卡洛法(Monte Carlo) 16
1.5.4 其他方法 16
1.6 功能度量法 16-17
1.7 区间分析 17-18
1.8 本论文的主要研究内容 18-19
2 可靠度计算的高效算法 19-41
2.1 结构可靠度理论 19
2.2 结构可靠度的求解方法 19-20
2.3 结构可靠度计算的迭代方法 20-28
2.3.1 HL-RF法 20-22
2.3.2 HL-RF改进法 22-23
2.3.3 调整步长法 23-24
2.3.4 通用计算法 24-26
2.3.5 Gauss-Hermite积分法 26-27
2.3.6 蒙特卡洛法(Monte-Carlo) 27-28
2.4 各种算法比较准则 28-29
2.5 算例 29-39
2.6 小结 39-41
3 概率约束评估的功能度量法及其MATLAB实现 41-53
3.1 可靠指标法与功能度量法 41-42
3.2 功能度量法中概率功能度量的求解 42-43
3.3 基于MATLAB优化工具箱求解概率功能度量 43-44
3.4 算例 44-51
3.5 结语 51-53
4 非概率可靠性分析 53-63
4.1 非概率分析概述 53-54
4.2 基于区间的结构非概率可靠性分析 54-55
4.3 基于凸集合的结构非概率可靠性分析 55-56
4.4 概率可靠性分析方法应用于非概率问题 56-57
4.5 非概率可靠性计算的比较 57-62
4.6 小结 62-63
5 结论 63-65
5.1 总结 63-64
5.2 展望 64-65
参考文献 65-69
攻读硕士学位期间发表学术论文情况 69-70
致谢 70-71
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