初中生平面几何题目做错的调查与分析

第一章问题的提出

一、问题研究的背景
数学解题错误是在数学知识学习以及问题解决过程中一种不可避免的现象，这种现象是符合人们对事物的认识规律的。人们对事物的认识要经历一个由浅入深的过程，同样，对于一个数学知识点地掌握也要经历一个从不懂到懂的认知过程，在这个过程中会伴随各种错误的发生，在修正错误的过程中人们会不断地完善自身的知识结构，逐渐加深对知识的理解。从学生认知发展的规律来看，学生在问题解决过程中产生的错误不过是学生在数学解题中所做得某种尝试，它只能反映学生在问题解决过程中某个阶段的水平，而并不是最终的水平。学生对自己错误的解题过程进行反思与总结，能够弥补自己认知结构中的不足，加深对知识的理解;另外学生的错题为教师了解学生对知识掌握的情况提供了一个最直接的参考，这样看来，学生在解题过程中发生的错误具有很大的价值，充分地利用好学生的错题可以改善教师的教学和学生的学习。因此教师绝不能低估学生在解题过程中产生的错误得价值，学生在解题过程中的错误是一种重要的教学资源，应该充分地利用好这种资源。
在初中数学教材中，平面几何这部分知识是让大部分教师和学生都比较头疼的内容，因为这部分内容都比较抽象。平面几何知识具有如下的特点:内容的抽象性、推理的严谨性、结论的明确性和应用的广泛性，其中最本质的特点是其高度的抽象性，在平面几何教材中使用了大量地形式化、符号化的语言。教师在教学的过程中往往陷入这样一种困惑，那就是不知道如何组织教学刁一能让学生更好地理解知识;还有一些教师则是在教学的过程中忽略了学生认知发展阶段的特点，生硬地组织教学，死板地呈现教学内容，这样学生在知识的理解上会变得更加得困难。皮亚杰的认知发展阶段理论认为中学生的思维发展处在形式运算阶段，可以进行抽象的逻辑思维，但后来的研究发现，皮亚杰的这一描述过于乐观。中学生在较为熟悉的领域可以进行逻辑思维，但是在遇到新颖但不熟悉的内容的时一候，还会退回到具体形象思维阶段。因此对于比较抽象的儿何知识的学习，如果教师不能采取正确的教学方式，在教学过程中不结合学生的认知特点进行教学，学生在接受抽象的知识上就会表现出很大的困难。在平时测验中的表现就是学生在解题的过程中错误比较多，并且相同的错误总是重复出现。那么如何认识学生在平面几何解题过程中的这种表现呢?

(一)数学解题错误的界定
要对数学解题错误进行研究首先就要对数学解题错误给出一个界定。笔者通过对解题错误的相关文献进行梳理发现，长期以来，人们并没有对数学解题错误做出一个明确的定义，出现比较多的是对解题错误的一些简单的论述。郑毓信曾经对错误做过这样的解析:有些教师往往把学生在学习过程中所产生的各种不同于“标准观念”的想法或做法看成是错误的①。这里的“标准观念”是指教科书、权威专家或教师自身的观念。也就是说对于学生的解题错误，教师往往是借助于数学知识的立场或者教师自身的立场对于学生的表现的一种评判。布鲁索 (Brousseau)认为，学生的错误和学生的失败不能提供一个过分简单的定义，应该将学生的错误和“困难”的概念结合起来。部舒竹，薛涟霞在总结了哲学层面有关错误的定义、一般意义上对错误的定义以及教师对于错误的看法后指出，“对错误的界定既不宜过于一般化也不宜过于哲学化，对错误的理解要从犯错误的主体—学生出发，以学生的认知、思维特征为出发点进行概念界定。”②因为解题过程本身就是学生调动头脑中原有的知识，对题目进行加工的过程，在这个过程中，学生处于主体地位。所以说从学生的表现的角度来对解题错误进行界定更利于对错误的研究。
众所周知，学生在问题解决的过程中，一般会有三种表现:全对、部分正确以及全错。全对是会做并且作对了，部分正确是“会而不对，对而不全，而全错则是没有解题思路或者解题的过程全部是错误的。在心理学上，问题被视为事物的初始状态和想要达到的目标状态之间存在障碍的情景，而问题解决被界定为运用一系列认知操作扫除障碍，将初始状态转化为目标状态的过程。从，理学的角度来看，这种部分正确以及全错的情况都表明了学生在问题解决过程中并没有将题目的初始状态转化为目标状态，在解题的过程中没有完全扫除其中的障碍，在本文中这些都归入解题错误的范畴。这些错误地表现可以为我们了解学生的知识缺陷提供参考，具有一定地研究价值。在全对的解题过程中会蕴含这样一种情况，那就是使用的方法不是最佳或者在解题过程中有一些思维回路，将解题的过程拉长，影响了解题的效率，其实这种类型的解题过程也需要从中进行反思，但是这种情况仅仅涉及认知策略选择的问题，纠正起来相对容易，因此本文的解题错误对于这种“全而不美”的情况暂不考虑。这样看来，本文就对数学解题错误做出如下地界定:面对一个问题情境，学生通过一系列的认知操作，没有扫除从初始状态向目标状态转化的障碍的一种表现，具体的表现是在解题的过程中出现部分做错或者全部做错。通过分析学生的错误表现可以让我们看到学生的知识欠缺之处，从而为后面的学习和教学指明方向。

(二)研究的必要性
新课程改革提出了“知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观”的三维目标。从中我们可以看到当前的基础教育课程改革十分重视“过程”，并将“过程”作为课程目标的重要组成部分。从教学的角度讲，过程是指教学的过程，是相对于教学的结论而言的，是达到教学目的或获得所需结论而必须经历的活动程序。①比如在三角形内角和定理这部分知识教学中，教师首先将三角形的两个底角剪下来，将底角的顶点放在顶角的顶点，将三个角的顶点重合，然后让学生猜想三角之和，最后通过证明得出三角形内角和定理。在这个例子中，教学的结论是三角形内角和定理，教学的过程是得出三角形内角和定理的“归纳—猜想一一证明”这一策略的使用过程。从广义的知识角度来看，这一探索过程的实质是特殊的程序性知识，即几何认知策略。认知策略是初中几何学习中一种重要的学习内容，并且在实际生活中有重要的使用价值。几何认知策略的获得很容易，但是学会认知策略的使用则比较难，它是在解题的过程中不断熟练起来的。在解题过程中，经过不断地“试误”，加深学生对认知策略适用条件的认识，这样才会促进学生的认知策略的学习。学生的解题错误过程给我们提供了学习认知策略的案例，对解题错误的过程进行研究适应了新课程改革的要求。

二、研究的问题及研究的方法

(一)研究的问题
基于新课程改革以及提高学生问题解决能力的需要，本论文将结合认知心理学家提出的“能力的知识观”来研究初中生在平面几何解题过程中的错题，旨在揭示学生在解题过程中发生错误的背后的机制。从广义的知识角度对影响学生问题解决能力的因素进行分析，为教师与学生分析错题提供一个客观的依据。并结合调查研究的结果探索教师正确纠正学生错误的方法，为教师合理地纠正学生解题过程中的错误提供建议。

(二)研究的方法
根据研究的问题，本文将采用以下几种研究的方法:
1.文献研究法
文献研究法，主要指搜索、鉴别、整理文献并且对一这些文献资料进行评析。任何的研究都不可能脱离前人的思想而独立存在，为了确保本研究有一个更清晰的研究思路，本文主要对以下两个方面的文献资料进行了研究:
一方面对国内外关于解题错误研究的文献进行了梳理，从中可以让我们看到关于解题错误的研究的成果与不足之处，为本文的研究提供借鉴和启发。
另一方面介绍了能力的知识观与问题解决过程的相关研究，这一部分的文献为笔者的研究提供了科学的理论基础和依据。
2.问卷调查法
本文主要是通过自编问卷的方式，对学生关于解题错误的认识进行了调查，从中了解学生对于解题错误的态度以及对于错题的使用情况。
3.访谈法
要想获得学生解题中产生错误的真实想法，必须对学生进行访谈。首先分析学生错误的解题步骤，然后根据正确的解题思路对学生进行启发性的访谈，从中了解学生错误产生的真实思维过程，从而为本研究提供更客观更有价值的资料。另外为了更清楚地了解教师对于学生错误的认识以及处理方式，本研究还通过自编访谈提纲的方式对教师进行了访谈。

三、研究的意义
　　学生认知结构中的缺陷是有限的，及时地发现学生的错误并对错误进行合理地纠正，可以不断地弥补学生认知结构中的缺陷，随着学生认知结构得完善以及认知水平得提高，学生在解题过程中的错误就会不断地减少。在与学生的接触过程中可以看到，凡是学习成绩比较好的学生，大都善于发现自己知识结构中的薄弱环节，并不断地完善它。而错题，恰好能帮助学生发现知识或者技能上的薄弱环节，通过弥补这些薄弱环节可以使学生后面的学习与解题变得更有方向感，更有针对性。所以说对学生产生的错题进行研究具有很大的意义。

第二章 文献综述.......................................19-27
一、国外关于解题错误..........................19-22
(一) 对数学解题错误认..........................19-20
(二) 关于解题错误............................20-22
二、国内关于解题错误..............................-25
(一) 对数学解题错误认........................22-23
(二) 关于解题错误原................23-25
三、总结与反思......................25-27
第三章 研究的理论.....................................27-32
一、能力的知识观.............................27-28
二、关于问题解决过...............28-32
(一) 表征问题.........................29
(二) 形成解题计划..........................29-30
(三) 执行解题计划....................30
(四) 回顾与总结...................................30-32
第四章 初中生平面几何解题错............................32-57
一、对教师与学生如何认识解.....................................32-33
二、对初中生平面几何解题错误................33-56
(一) 研究思路.........................................34-35
(二) 平面几何解题错误............................35-37
(三) 学生不同类型....................37-56
三、研究结论..................................56-57
第五章 教师如何正确地...................57-67
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结语
通过对学生的问卷调查以及笔者的课堂观察，我们可以看到学生在教师讲解问题的过程中习惯于边听讲边抄写正确答案，而在课外，使用错题改错本的时候，一般也是将正确的答案再在一个本子上抄写一遍。在课堂上学生边听讲边记录答案的时候，思维活动必然处在受抑制的被阻状态，既消耗了大量的体力，也分散了听课的注意力。心理学研究指出，学生全力以赴完成抄写动作时，必然引起大脑出现抑制状态，故而出现“听而不闻”的现象，影响了对知识的真正理解和掌握。因为要想真正的提高错题的利用效率必须要对错误的解题过程进行一个全面的反思，而错题改错本就承担了这样一个角色，
学生的学习的过程就是知识不断积累的过程，但是毕竟学生的一记忆容量是有限的，犯过的错误难免会遗忘，利用错题改错本对自己的错误进行梳理对于提高学生的问题解决能力起着很大的作用。通过调查我们可以看到学生在解题的过程中经常重复性的犯同样的错误，这说明学生并没有对自己做过的题目进行过好的反思。另外很少有同学在平时的学习中使用错题改错本，即使使用错题改错本的同学也仅限于将正确的解题步骤抄下来，这种处理错题的方式并没有体现出学生对自己解题过程的总结，对学生学习的意义不大。要想利用好错题改错本，在改错的过程中学生要善于总结自己在做题过程中的得与失，这种总结出来的东西刁-是学生在解题过程中真正缺乏的知识。