第 1 章 绪论
1.1 引言
功能梯度材料的出现是为了解决材料在极端环境下能够正常运行而研制的一种新型复合材料，以满足材料在高技术领域的需求。1984 年,日本学者新野正之、平井敏雄和渡边龙三等人为解决能满足在极限温度环境下反复正常运行的材料首次提出了 FGM 的概念[1]。由于功能梯度材料的组成和结构与以往的复合材料不同，其设计的思想是根据新材料所需求的性能，选取性能不同的两种材料。在制备的过程中通过连续改变这两种材料的各组分含量的分布，使其宏观界面弱化甚至消失，使产生的新材料的材料的属性（如热传导系数、弹性模量、热膨胀系数等）在空间位置上呈现出梯度变化，从而满足新材料所需求的性能。它结合了两种材料所具有的两种特性，但又不会产生不协调。功能梯度材料是具有适应环境、新颖的设计思想、使用功能和可控的先进材料，传统的复合材料是无法比拟的。功能梯度材料这一概念的提出，立即引起世界各国工程界和材料科学学者的广泛关注并对其展开深入广泛的研究。最早对功能梯度材料进行研究开始于 1987 年日本科学技术厅启动了国家级研究项目“关于开发缓和热应力的功能梯度材料的基础技术研究”计划[2]。随后，美国、德国、俄罗斯、法国、中国等国也开始了对功能梯度材料的研究工作。为了对功能梯度材料进行深入的研究国际上举办了多种形式的国际会议。在 1990年，第一届对功能梯度材料进行讨论研究的的国际研讨会在日本举办，此次之后每隔两年举办一次。2000 年，徐自立，魏伯康[3]从利用实验的方法获得材料的物性参数入手，从而推断出功能梯度材料梯度组份分布的物性参数，为今后功能梯度材料的研究提供了理论基础。2004 年 Chen W Q 等人[4]将功能梯度材料概念运用到混凝土梁中,梁主弯区的混凝土部分使用一种工程用粘合剂(ECC)替换,通过实验得到这种功能梯度梁具有耐腐蚀性。文献[5]给出了功能梯度材料的概念：功能梯度材料（FGM）是一种由两种或多种常规基本材料通过特殊的材料符合技术复合成结构和组分呈连续梯度变化的一种新型复合材料。其结构和组成从材料的一方位连续地变化到另一方位，从而使材料的功能和性能呈现梯度变化的一种非均质的新型的功能复合材料。由于不同领域对功能梯度材料的材料功能和结构都有着不同的要求，其组成方式也从单一的金属-陶瓷结合方式发展到陶瓷-陶瓷、陶瓷-非金属、金属-非金属和非金属-聚合物等多种结合方式。
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1.2 壳体热屈曲研究概况
最早可以追溯到 18 世纪。早在 1744 年，Euler 就在他所编撰的《曲线的变分法》中，用最小位能原理推导出弹性直杆的临界荷载计算公式，但是弹性直杆的临界荷载只是结构失稳问题的一个特例。人们在桥梁、船舶、航天等邻域的研究中，遇到了各种各样的结构稳定性问题。因此，人们相继对杆、薄板、薄壳等结构的稳定性和热稳定性问题进行了深入广泛的研究，得到了各种结构，在载荷作用下的临界载荷，并创立了一系列稳定性理论[9,10,11]。对于临界状态判别稳定性准则有很多的理论，总体可以分为两大类：（1）小稳定性平衡准则；（2）大稳定性平衡准则[14]。前者以小挠度理论为基础，后者则是以研究分支点后屈曲平衡状态的非线性有限变形理论为基础[15]。由文献[16]可知对于用小稳定性平衡准则来判定分支点失稳问题有以下三个等价的判别准则：1、动力学准则；2、静力学准则；3、能量准则。动力稳定性准则对于弹性系统的判定虽然正确，但在应用时会存在着庞大的数学计算困难。因为解决这类弹性系统的运动问题是由偏微分方程组来表述的。由文献[16]得到静力学准则、能量准则的基本概念。认为：满足静力平衡条件的某结构体系，当受微小的扰动使其偏离原来的平衡位置时，若当扰动去除后能使该体系迅速恢复到原来的位置时，则原来的平衡状态是稳定的；假如受到微小扰动后使其偏离原来的平衡位置越来越大，则原来的平衡状态是不稳定的；若系统在干扰去除后在新的位置上平衡，则原来的平衡状态称为随遇（或临界）平衡状态。使结构处于临界平衡状态的载荷称为临界载荷（Gritical load）这就是稳定的静力准则。
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第 2 章 薄球壳热屈曲基本公式
由于张量函数具有普适性，在任意坐标系下都成立。由此可以把张量方法运用到板壳理论中。本章工作主要是运用张量这种锐利的工具分别推导了功能梯度材料薄球壳的几何方程，线性和非线性热本构方程和线性和非线性热稳定性方程。为以下几章提供理论依据。
2.1 功能梯度材料的物性参数
本文研究薄球壳稳定性问题时，运用张量方法推导出的任意形状薄壳的统一的弹性稳定性方程，假设壳体是无初始应力的理想模型，选择各向同性材料均匀厚度的球壳，假定研究的薄球壳失稳属于分支点失稳问题。我们定义分支点稳定性问题：认为平衡状态的改变是失稳的主要特征，限定在线性理论的范围内，随着载荷逐渐增加到某一值，薄球壳从初始的无矩状态Ⅰ过渡到附加的有矩状态Ⅱ，并且认为状态Ⅱ是无限趋近于状态Ⅰ的。从状态Ⅰ过渡到状态Ⅱ的分界点叫做临界点。
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2.2 薄球壳几何方程
1、本章运用张量方法，通过 christoffel 符号表示基矢量对坐标的导数推导出各向同性材料在球坐标系下的几何方程。2、根据已有的各向同性材料完备的非线性热本构方程，去掉非线性热本构方程的非线性项，得到各向同性材料的线性热本构方程，根据球坐标系下应力、应变的张量分量，进而得到球壳的线性热本构方程；在仅考虑一次n=2式形式和二次n=4式形式的情况下，得到二阶的各向同性弹性材料非线性热应力本构方程，根据球坐标系下的应力、应变的张量分量，可以得到球壳的非线性热本构方程；3、从薄球壳屈曲方程出发，考虑薄球壳仅受到温度 T 的作用的影响下，推导得到以位移表示的薄球壳的线性情况和非线性情况下的热稳定性方程；考虑薄球壳受到均布外压和温度共同作用的影响下，推导得到以位移表示的薄球壳屈曲状态的线性情况和非线性情况下热稳定性方程。
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第 3 章 功能梯度材料薄球壳线性热屈曲问题........ 25
3.1 伽辽金法热屈曲分析.......25
3.2 里兹法热屈曲分析...........27
3.3 分析讨论.......29
3.3.1 伽辽金法计算结果及曲线.........30
3.3.2 里兹法与伽辽金法计算结果比较.......35
3.4 结论.....38
第 4 章 功能梯度材料薄球壳非线性热屈曲问题.... 39
4.1 球壳虚功原理和势能泛函.........39
4.2 球壳临界载荷计算...........41
4.3 分析讨论.......48
4.3.1 临界分析.......49
4.3.2 与线性球壳热屈曲进行比较.....50
4.4 结论......53
第 5 章 总结与展望.............55
5.1 总结.....55
5.2 展望.....55
第 4 章 功能梯度材料薄球壳非线性热屈曲问题
壳体的热屈曲问题是当前固体力学领域热点研究内容之一。现阶段大多文献采用本构方程线性化处理。然而，温度非线性是热屈曲研究中不容忽视的重要因素。本章研究了由金属和陶瓷组成的功能梯度材料薄球壳非线性情况下了热屈曲问题。分别考虑均布外压和温度作用，运用最小势能原理推导以位移表示的球壳的势能泛函，采用里兹法研究了简支球壳的非线性热屈曲问题。分析了功能梯度材料薄球壳温度变化引起的临界压力变化趋势；分析了温度非线性对临界压力的影响。
4.1 球壳虚功原理和势能泛函
Ni/TiC 功能梯度材料具有高比强、质轻、耐腐蚀、耐高温等优异的机械力学性能，是航空航天、船舶工业、兵器工业、冶金业、化工业等领域的重要材料，越来越受到世界各国科研人员的重视，已成为高温结构材料的研究热点。本文选用 Ni/TiC 功能梯度材料的薄球壳，边界简支固定，用 MATLAB 计算直径 R=600mm，h/R 值由 0.02 到 0.05之间的薄球壳的临界温度和临界压力载荷。Ni/TiC 功能梯度材料中 Ni 的弹性模量为260GPa，TiC 的弹性模量为 320GPa。Ni 的热膨胀系数为 13.3×10-61/℃，TiC 的热膨胀系数为 7.4×10-61/℃。本文假设功能梯度材料的泊松比（Poisson） =0.3.本章选取的材料 NT30（TiC-30wt%Ni）表示的是 TiC 的体积分数为 30%。由此可得该材料的弹性模量 E=278GPa，线胀系数 5.63×10-61/℃。为验证分析，本文与球壳热屈曲线性情况[31]进行比较。（1）考虑在常温情况下临界压力 P 随壁厚 h 的变化曲线。见图 4.4（2）考虑温差 T=400℃的情况下，临界压力 P 随厚度 h 的变化曲线。见图 4.5（3）考虑壁厚 h=10mm 的情况下，临界压力 P 随温差 T 的变化曲线见图 4.6（4）考虑均布压力 P=10MPa 的情况下，临界温度 T 随厚度 h 的变化曲线。
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总结
功能梯度材料是近代一种为了适应材料在高新技术领域需要而开发的一种新型复合材料，具有优良的性能，用途广泛，随着不同功能梯度材料的产生，将功能梯度材料运用到板壳结构中，能充分发挥它力学性能上的优势。同时保证其受力在安全范围以内也是不容忽视的问题。在实际的工程运用中，一般处在复杂的环境中，不仅受到外载荷的作用，而且温度场对其也有很大的影响。目前对于功能梯度材料薄球壳结构的力学性能研究还不够完善。对其壳体的热稳定性问题研究研究较少，并且处于线性研究的范围内。本文主要对功能梯度材料（FGMs）薄球壳线性和非线性情况下的热屈曲问题进行了研究：
1、本文在各向同性完备的非线性热本构方程的基础上，通过 christoffel 符号表示基矢量对坐标的导数，推导出功能梯度薄球壳在球坐标系下的热本构方程。
2、用张量方法推导得到了轴对称球壳稳定性方程。将热本构方程应用到球壳稳定性方程中，得到以位移表示的球壳热屈曲方程组。
3、在线性的情况下，分别考虑均布外压和温度作用下，采用伽辽金法和里兹法研究了简支球壳的热屈曲问题。分析了薄球壳厚度和物性参数变化引起的临界压力变化趋势和临界压力的变化趋势。4、在非线性的情况下，考虑均布外压和温度共同作用，运用最小势能原理推导以位移表示的球壳的势能泛函，采用里兹法研究了简支球壳的热屈曲问题。分析了功能梯度材料薄球壳温度变化引起的临界压力变化趋势；分析了温度非线性对临界压力的影响。
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参考文献（略）