第 1 章 绪论
1.1 问题提出
1.1.1 数学思想的重要性
随着时代的发展，在数学学习过程中，学生学习的并不仅仅是数学知识本身，更要领悟知识背后的数学思想，培养学习数学的能力。同样，数学教育的目的也不仅仅是教会学生数学知识，而是使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可代替的作用。美国教育家布鲁纳曾在《教育过程》一书中提出学习数学知识在数学思想的引导下，不仅可以使数学学习相对容易，还能培养学生的总结概括能力并促进其他学科的学习1。可见，在数学学习过程中掌握数学思想是学习数学知识的一条重要途径，从短期来看，可以提高学生的数学成绩，从长远来看，可以培养学生的数学素养。
《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称《课标（2011 版）》）在课程目标的总目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”2这是我国数学教育目标从“双基”到“四基”的一个重大发展。根据这一内容，可以得知数学的基本思想在义务教育阶段数学教学中有着与数学的基础知识、基本技能、基本活动经验同样重要的地位。所以，在小学数学教学中应根据教学内容进行数学基本思想的渗透，在落实课标要求的同时，培养学生全面发展。并且，《课标（2011 版）》在课程基本理念中提到“要重视直观，处理好直观与抽象的关系”；在课程设计思路中提到“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”；在第一学段的学段目标中提到“经历从日常生活中抽象出数的过程”、“经历简单的数据收集、整理和分析的过程，了解简单的数据处理方法”；在第二学段的学段目标中提到“体验从具体情境中抽象出数的过程”、“探索一些图形的形状、大小和位置关系”、“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用”、“体会一些数学的基本思想”。1所提内容与数形结合思想不谋而合，可见数形结合思想在小学数学基本思想中的重要性。此外，《课标（2011 版)》中的十大核心概念中的几何直观、推理能力、模型思想均体现着数形结合思想，进一步说明了数形结合思想在小学数学中的重要地位。
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1.2 研究的目的和意义
1.2.1 研究目的
如上所述，本研究的目的在于通过问卷调查和访谈的形式呈现锡林浩特市小学数学教学中数形结合思想的渗透现状，并对其进行分析，找到原因，给出合理的教学策略及建议，为在小学数学中渗透数形结合思想提供帮助，给小学数学教师在教学工作中多一份参考，为学生数学学科核心素养的养成这一长期工程打好基础，为锡林浩特市小学数学教学质量的提升贡献一份力量。
1.2.2 研究意义
本论文是在结合《课标（2011 版）》、直观想象、数形结合思想相关理论的基础上学习前人研究并对锡林浩特市小学数学课堂现状的分析，以小学数学四年级为调查对象，根据发现的问题提出相应的教学策略，从而丰富这一相关领域的研究，为今后的研究者进一步研究“数形结合思想在小学数学教学中的渗透”提供了一定的借鉴与参考。
根据小学数学教材中所体现的内容编排特点，以及《课标（2011 版）》中的课程目标中所提出的要求，教师在备课过程中很少将数形结合思想的培养纳入教学目标中，对数形结合思想不渗透或渗透不够。出现这种现象的大部分原因，是教师自身缺少相关的理论和对策，本论文为教师提供小学阶段为什么要深入渗透和如何深入渗透数形结合思想的理论支撑，为教师创新教学设计提供具体建议。
从自身角度来看，本研究能促使我更加自觉地在教学中渗透数形结合思想，更加自觉地去研读课标、研究教材，把教材中的数学思想方法教授给学生。在培养学生的同时提升自己的教学能力，为本校数学教学水平的提升略尽绵薄之力。
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第 2 章 数形结合思想及其教育价值分析
2.1 数形结合思想的概念界定
2.1.1 数学思想
现代汉语中，思想是指客观存在的反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。《辞海》称思想为理性认识，《中国大百科全书》认为思想是相对于感性认识的理性认识结果。根据以上解释，可见思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括的认识。王培德在《数学思想应用及探究——建构教学》一书中提到：“数学思想是对数学事实、概念、理论与方法的本质认识，是体现于基础科学中的具有奠基性、总结性的内容。”
将以上内容进行归纳，可以看出数学思想是源于数学知识却高于数学知识的一种具有指导意义的认识，这种认识从数学事实的本质出发指导数学的建立与使用，是众多数学知识的向导。它既蕴含于数学知识内容当中，又隐藏在运用数学理论分析、处理和解决问题的过程中。比如我们经常用到的划归与转化的思想、或然与必然的思想、数形结合的思想等，这些数学思想指引着我们在数学之海上航行，在需要时引导我们寻找解决问题的具体数学方法，使得人们在数学实践中很难把数学思想和数学方法严格区分开，因此也有学者称其为数学思想方法。
2.1.2 数形结合思想
在古代，“数”表示计数，“形”表示形状，发展至今，“数”用来表示数量关系，“形”用来表示图形、实物等空间的概念。数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，数学起源于现实世界的“形”和“数”，“形”和“数”这两个基本概念是数学的两块“基石”，数学学科就是在这两个基本概念的基础上建立起来的，离开了“形”和“数”数学的发展就会成为一句空话，数学发展进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相连结，在方法上互相渗透，在一定条件下又互相转化。伽利略也曾说过，哲学这本书是用数学语言写成的，符号就是三角形、圆和其他几何图形。没有它们的帮助，会连一个字都看不懂；没有它们，人们将在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡着。由此可见数和形对数学甚至是其他学科的重要性。
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2.2 数形结合思想的教育价值
2.2.1 课标的要求
《课标（2011 版）》将“基本思想”纳入课程目标，并且在不同的学段也做出了更详细的说明。第一学段为小学 1-3 年级，其知识技能目标中这样写到：“经历从日常生活中抽象出数的过程”、“经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程”；其问题解决目标中这样写到：“了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法”。第二学段为小学 4-6 年级。其知识技能目标中这样写到：“体验从具体情境中抽象出数的过程”、“体验从具体情境中抽象出数的过程”、“掌握测量、识图和画图的基本方法”；其数学思考目标中这样写到：“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用”、“会独立思考，体会一些数学的基本思想”。1从以上目标中可以看出数学思想和图形在小学阶段对的重要作用，而数形结合思想正是以“数”与“形”为主要内容的数学思想。因此在小学数学教学中渗透数形结合思想是落实新课程标准要求的体现。
2.2.2 符合小学生的认知特点
根据美国心理学家布鲁的认知表征理论可以知道，人们知觉和认识世界时有三种表征系统在起作用，分别是动作性表征、映像性表征和符号性表征。如图 2-1 所示，表征包括内部表征和外部表征，外部表征是指在传递知识的过程中所借助的载体，包括文字表征和图形表征。根据皮亚杰的儿童认知发展阶段理论可知，不同年龄段的学生的认知程度不同，所以小学数学教学中所涉及的数形结合思想也与中学阶段不同。可以把小学数形结合思想中的“数”广义的理解为数学文字表征，也就是包括数字、文字、算式、符号、数量关系、数学结构、数学概念等。相应地，“形”可理解为图形表征，包括实物，图像，图形，符号、图表等。对于处在具体运算阶段的小学生来说，他们的思维还具有局限性，抽象的逻辑推理还不能进行，离不开具体事物的支持，形象直观的图形表征比抽象复杂的文字表征更易接受。因此，学生在数学的内部表征和外部表征共同作用下进行学习，即将“数”与“形”结合起来思考问题，符合小学生的认知特点。
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第 3 章 教材中蕴含的数形结合思想 ............................. 18
3.1 教材中“以形助数”内容的呈现及特点 ..................... 20
3.1.1 教材中“以形助数”内容的呈现 ....................... 20
3.1.2 教材中“以形助数”内容的特点 ....................... 21
第 4 章 小学数学教学中数形结合思想的渗透现状 ................. 32
4.1 调查的设计与实施....................................... 32
4.1.1 调查目的 ........................................... 32
4.1.2 调查对象 ........................................... 32
第 5 章 促进数形结合思想渗透的教学策略 ....................... 59
5.1 发挥案例作用，体验“以形助数”功能 ..................... 59
5.2 分析图形数字特征，认识图形本质 ......................... 61
第 5 章 促进数形结合思想渗透的教学策略
5.1 发挥案例作用，体验“以形助数”功能
“以形助数”思想绝不只在一个领域中发挥作用，可以在四年级的各个学习领域中找到应用机会，发挥作用，关键是教师要钻研教材、理解教材，创造性地丰富教材、使用教材，发挥每一个案例的作用，把“以形助数”思想渗透到课堂中去，让学生体验“以形助数”的功能。在数与代数领域的教学中，教师可以利用“以形助数”的思想方法，借助“形”的直观引导学生理解抽象的概念、算理等，做到既知其然又知其所以然。比如学生理解了算理会促进学生对计算方法的掌握方法进而提高学生计算的正确率；在图形与几何领域教学中，教师可以根据图形中所蕴含的数量关系进行逆向思考，将代数问题几何化，利用几何图形形象直观的优势解决问题；在统计与概率教学中，教师们可以引导学生将统计图与统计数据有效结合，让学生通过分析图形的变化趋势来分析数据；在综合实践领域教学中，由于该领域教学内容形式比较灵活、内容较广泛，涉及大量的实践活动，教师们常常忽略对数形结合思想的渗透。但通常在这样的综合活动中才能给学生提供更多的机会去培养数学素养、提高数学能力。
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第 6 章 总结与展望
6.1 论文总结
本研究基于对数形结合思想方法的理解，尽可能全面地梳理出人教版四年级数学教材中数形结合思想方法所属领域和所在位置。并将数形结合思想分为“以形助数”“以数解形”“数形互助”三部分在锡林浩特市进行调查研究，了解到当地数学教学中对数形结合思想的渗透并不乐观。由于各种原因教师在教学中不渗透或者渗透不到位，导致学生无法将“数”与“形”有机地结合起来，不利于学生数学的发展
对于小学生来说，学习的主要方式是教师的教，所以学生在学习过程中是否掌握数形结合思想方法、能够接触到多少关于数形结合的知识和运用方式，主要取决于教师对数形结合思想的重视程度以及教师自身的数形结合能力。所以教师在教学过程中要注意以下几个方面：第一，了解什么是数形结合思想及数形结合思想在小学数学中的地位；第二，提升自己的专业素养，能够发现相应知识点中数量关系与图形的内在联系，把握住每一个渗透机会；第三，教师会在多个方面对学生起到示范作用，所以教师个人要正确使用作图工具，并能够熟练地画出准确的几何图形、示意图；第四，要掌握常用的实物图、线段图、示意图、面积图、点子图、集合图以及数轴和几何模型等多种作图方法，能够在教学中灵活应用。“要给学生一碗水，教师必须有一桶水”，只有教师自身的数形结合能力足够强，才能达到在教学中渗透数形结合思想、培养学生数形结合能力的目的。
自开始本研究以来，我便在自己所带的四年级的两个班的教学过程中将数形结合思想进行渗透。在开始渗透时，大多是用数形结合的思想方法帮助学生理解知识、分析题目，并且让学生仿照这样的方式去练习。经过一个月的练习学生已经开始形成数形结合的思考习惯，但却被较差的画图能力所限制，所以从第二个月开始，利用一切可以利用的教学机会对学生的画图能力进行训练，并及时评价。大约三周过后，学生用数形结合思想方法解决一些之前认为较难的应用题时不再觉得那么难了，例如，学生之前在解决较复杂的路程问题时总是找不到数量关系，现在学生会根据题目画出示意图，使数量关系一目了然，然后顺利的解决问题。
参考文献（略）