第 1 章 绪论
1.1 研究背景
数学伴随着我们从小学到中学，一路成长至大学，它不仅可以提升我们的思维，还给日常生活中的我们提供了重要的应用价值。而立体几何和解析几何在数学学习中都占据了重要位置，立体几何主要研究了三维空间里的图形特征，是现实生活里形状的数学表示，为学生构建出了抽象的想象空间；解析几何是数形结合思想的重要体现，可以高效地培养学生的思维。对于学生而言，学习几何可以提升他们的几何思维，也可以提高空间想象能力，几何的学习是高中阶段数学课程中的重点。
在数学必修 2 的知识体系中有 “立体几何初步”和“平面解析几何初步”两章，深入研究这两章各小节可以发现，教材的安排是先从整体上观察各个空间几何体；再探究空间中点、线、面之间的位置关系及判定方法，并能对其进行论证；再利用空间几何体之间的关系，归纳得出并学会灵活运用各空间几何体的表面积与体积公式；再结合方程和空间直角坐标系进行数形结合。而苏教版选修 1-1“圆锥曲线与方程”这一章中，分别介绍了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质，处处体现着数形结合的数学思想
在必修课程中，学生们经历直观认识、实例研究和交流探讨等过程归纳认识立体几何，弱化了通过严谨抽象的几何论证来获得几何定理的过程；而在选修课程中，学生们才通过学习空间向量，并运用向量来证明已获得的几何定理。这样设计是有一定道理的，几何法需要学生能够通过观察准确认识空间图形及其特征，掌握并灵活运用几何定义、公理和定理。结合实际发现，对于许多学生而言，总结几何图形的特征、推理论证、表述论证过程等掌握起来都较为困难。而向量法则是将几何与代数联系，将空间几何代数化，能让学生从数量关系的角度认识立体几何，也能通过计算空间向量分析得出几何图形中的位置关系。可见向量法相较于几何法，所需的推理论证能力更低，解题方向明确，解题步骤清晰，更容易理解掌握。在实际教学中很多教师发现，向量法弱化了抽象推理论证的过程，不利于空间想象能力和推理能力的培养，同时这两种能力较弱的学生也很难掌握向量法，比如空间想象能力较差的学生无法想象出两条直线垂直数量上应该存在的关系，也就更无法运用向量法解题。
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1.2 国内外研究现状
1.2.1 国内研究成果
曾友良和贠朝栋[1]在其论文《范希尔理论的几何思维水平研究综述及启示》中指出：范希尔理论对于几何教学的指导作用尤为重要，通过研究范希尔理论几何思维水平对立体几何教学提出了几方面的启示，教师在提升自身的几何思维水平的同时，也要充分了解学生的思维水平，学会依据学生的不同几何思维层次使用多种不同的教学方法。
彭红亮[2]在其论文《基于范希尔理论的高中生空间想象能力的提高策略 》中指出根据范希尔理论，立体几何中关于空间想象能力的学习活动有：能由实物辨认出空间图形，也能由空间图形想象出实物形状；能描述探究简单几何体的结构特征，也能根据结构特征判断图形的形状；能画出几何体的三视图、直观图，也能根据所给的三视图、直观图画出原图；能建立几何体与它的展开图之间的转化关系；能建立立体图形与截面的对应关系；能建立旋转体与经过旋转后能形成这些几何体的平面图形之间的转化关系等。
官红严，周超[3]发表的《针对数学教师的范希尔几何思维水平测试》一文中，以美国芝加哥大学尤西斯金测试题为测试工具，测试了 132 位在职的数学教师的几何思维水平，结果显示：1 名为小学教师，19 名为职业学校专任教师，其他均为普通中学教师，有 27%的教师达到了五水平，24.1%的教师达到四水平，37.8%的老师达到三水平。可见教师的几何思维水平有很大差距，教师只关注自身解题水平和学生的学习成绩，不注重自身几何思维水平的层次的培养，自身的几何思维水平存在一定的问题又如何可以正确引导学生思维层次的发展。
曾春[4]发表的《范希尔思维层次对初中几何教学的启示》中，以范希尔理论为理论基础，分析了初中学生几何思维层次的发展过程，结合学生实际学习情况和研究所得数据，提出了切实可用的教学建议和有效的教学策略，对一线教育工作者具有指导作用。
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第 2 章 理论基础
2.1 范希尔几何思维水平理论
本文引用学者 Hoffer[20]关于范希尔理论的 5 个几何思维水平层次的论述：
水平 1：视觉水平（Visual）学生整体感知所给的几何图形，但不能体会通过图形的特征来区分图形的过程，正如范希尔所说“图形看起来像”和“知道它是什么图形，但无法解释为什么”。学生可以分辨出图形的整体轮廓，也能分辨出图形的边角，并且可以简单模仿所给出的图形，也可以简单的分类图形。重要的是该水平的学生无法通过认识图形的性质来简单推理结论，也无法对图形进行总结描述。
水平 2：分析水平（Analysis）学生能认识到图形之间的不同特征和性质，并加以描述，也可以利用认识到的图形性质来解决简单问题，但不能将各图形特征联系起来。
水平 3：非形式化演绎水平（Informaldeduction）学生能够依据图形之间的相关性质建立两者之间的联系，并且认为建立图形相关性质与定义之间的关系是很有必要的。但处于该水平的学生依旧无法利用给出的条件进行推理论证。
水平 4：形式化演绎水平（Formaldeduction）学生可以理解几何学习中公理、定理和定义的概念和重要性，知道了几何定理的建立需要通过严密的逻辑推理论证，也可以利用所给出的已知条件来论证推理得出结论。
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2.2 皮亚杰认知发展阶段理论
“图式”是皮亚杰认知发展理论的基础概念[22]，是学生活动的基础组织。儿童受到遗传因素的影响，出生便带有了一定的遗传性图式，是先天无法改变的活动。其次，在拥有遗传图式以后，儿童不断与外界接触，产生了不同的活动，引起了图式的变化。在此皮亚杰便引入了同化和顺应两个概念：同化是指将外界的不同纳入到自身已有的图式中，带来的是图式的量变。而顺应则是指，外界活动与自身图式发生冲突时，原有图式不断调节来适应外界的变化，创立出了新的图式。最后，个体不断同化和顺应与外界达到平衡状态。
皮亚杰将儿童的认知发展水平分为 4 个阶段：
阶段 1：前语言的感知运动阶段（0-2 岁）当前儿童依靠感知觉认识世界，
会有一些低级的行为，心理发展高于感觉运动水平。
阶段 2：前运算阶段（2-7 岁）符号和语言的使用使得儿童可以借助思维来不断扩展对外界的认识，但他们表达出的只停留在直观层面，无法抽象表述，思维不可逆。
阶段 3：具体运算阶段（7-12 岁）逻辑运算能力的不断提高使得儿童的思维产生了可逆性。
阶段 4：形式运算阶段（12-15 岁）思维发展迅速，此时思维已经接近成人的思维水平，思维不再受具体事物的局限，也不再受时间和空间的局限，可以通过假设和推理论证得出结论。
我们通过对皮亚杰认知发展阶段理论的研究，认识到高中生思维形成之前思维发展的特征，而思维的发展总是具有一定的相似性，因而该理论可以为高中生几何思维水平的初步划分提供一定的参考价值。皮亚杰认知发展说的图式理论，也为本文之后的教学建议与应用提供了一定的指导意义。
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第 3 章 关于高中学生思维层次的调查 ................................. 12
3.1 调查的目的 .......................... 12
3.2 调查问卷设计 ................................ 12
第 4 章 高中学生的思维层次 ......................................... 19
4.1 高中学生思维的四个层次 ..................................... 19
4.2 思维层次的特征 ............................................. 19
第 5 章 高中学生思维层次教学实践 ................................... 24
5.1 二面角教学案例 ............................................. 24
5.2 三垂线定理教学案例 ......................................... 27
第 5 章 高中学生思维层次教学实践
5.1 二面角教学案例
一、内容：
本节内容是高中数学苏教版必修 2 第一章立体几何初步 1.2.4 平面与平面的位置关系中的内容，主要介绍二面角、二面角的平面角及直二面角的概念以及二面角的作法。
二、地位与作用：
二面角的学习在立体几何的学习中有重要的承上启下作用，二面角的学习是对此前学习的异面直线所成角和线面所成角的再运用。而学完二面角后，可以自然引入两平面垂直，如此学习更有条理，也可以提升学生的逻辑推理能力。
三、特点：
二面角的学习应当是观察体验和思考领悟相结合的过程，观察体验则是真正理解二面角的过程，理解后的思考领悟则是一个内化的过程，依据此前思维特征的研究可知高中生几何思维发展是具有一定顺序性的，所以要循序渐进，不宜直接抛出结论，不易学生理解。高中几何思维发展也是存在个体差异性的，课堂需要把握评价的时机，对表现好的同学适时夸奖，激发学习的积极性。 四、教学中普遍存在的问题：
四、教学中普遍存在的问题：
不少教师将讲好一堂课当做课堂的目标，更关注自己的表达，但依据以人为本的教育理念，课堂的主体是学生，教师应当更关注如何引导学生正确理解二面角的定义，二面角的教学应当以学生自主探究为主，教师讲解为辅，教学中经常存在忽视学生自主探究的现象。
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第 6 章 总结与展望
6.1 总结
本文依据预期对于高中学生几何思维的层次划分制作了一分测试卷，随机抽取了盐城市一所高中的高三学生，通过数据分析将高中学生几何思维层次划分为四水平，包括了一水平，描述水平，学生可以初步地认识几何对象，且能通过概念形成过程或图形性质认识几何对象，并且可以处理相应问题；二水平，表征水平，学生几何知识已经在其个体心理存在特定的反映和存在方式，并且能够逐步建立知识点之间的联系；三水平，形式化水平，学生可以理解并灵活运用演绎推理来证明几何关系。给出已知条件，通过演绎推理，得出几何关系；四水平，批判思维水平，学生可以独立思考、善于提问和总结回顾、调控几何思维进程，包括解释、分析、评价、推理及对证据、概念、方法、标准的解释说明。探索了四水平的特征并依据层次的特征提出了对应的教学应用，最后，根据几何思维层次的划分以及特征制定了六个教学案例，希望可以对高中几何教学有帮助。
本文是对高中学生的几何思维水平进行研究，大致了解了高中学生思维水平的现状，并提出了教学建议，但由于各方面的原因及能力，本研究存在许多不足之处。
（1）本文选取的是高三年级的学生进行思维水平测试，只涉及盐城一所学校，参与的学生只有 93 名，选取的样本容量较少，不具有代表性，在这一方面考虑不全还需要进一步研究，可以选取不同学校不同年级，样本容量较大的进行比较研究。
（2）本文虽然提出了一些教学应用与建议，但如何帮助学生提高几何思维，从一水平过渡到下一水平的具体措施没有准确体现。以上这些不足，都需要日后的不断的研究，才能更加丰富文章的内容。
参考文献（略）