哲学与具体学科探究实践关系管窥——以哥德尔相关工作为例的说明

一、康德与哥德尔对数学真的客观性的看法

1.1一些术语辨析
这一节的工作并不奢求对下面的几个术语所对应的概念做出完备的定义。只是希望通过分别展示并比较康德与哥德尔著作中对几个术语的说明与使用以减少歧义，使后文更容易理解。
判断(judgement)、命题(proposition)。康德的著作中多用到“判断”，而在哥德尔等现代作家的著作中多用到“命题”作为相应的概念。我以为在本文讨论的范围内两者基本可以混用，或者可以(更精确地)将“判断”与“断定的命题”看作同义的术语。康德在《纯粹理性批判》中也确实出现过将两者对等运用的情况。
分析/综合。继承休漠的用法，康德也将判断划分为分析的与综合的。康德在以肯定形式的性质判断为例说明分析判断与综合判断的区别时说道:分析判断的谓词属于(或包含在)主词的概念之中;而综合判断的谓词则外在于主词的概念。
哥德尔(G6del，1944)认为一个命题可以在两种意义上被称为是分析的:第一，它可以具有纯形式意义，即出现的词项能被定义，使得它实际上成为同一律的特殊形式;第二，它是“由于其中出现的概念的意义”而成立的，而这个概念的意义可以是不可定义的(当然也可以是被定义的)。显然，第二种意义上的分析的命题的外延要比第一种意义上的更广。哥德尔认为，根据第一种意义，诸如数论、集合论的定理(不包括一阶逻辑定理)都是非分析的2(如果我们要求我们的语句和证明必须是有穷的话);而根据第二种意义，数论、集合论的公理大多都可被看作是分析的。弗雷格也曾对分析与综合的区分做出过较明确的界定。或许可以帮助我们更好地理解康德与哥德尔的用法之间的联系。……在涉及数学真的时候，……重要的是找到证明并且把它一直追溯到初真。如果以这种方式只达到普遍的逻辑定律和一些定义，那么就有分析的真，……但是如果不矛!!用那些不具有普遍逻辑性质、而涉及特殊知识领域的真就不可能进行证明的话，句子就是综合的。
如果对弗雷格定义中的“逻辑”作狭义的理解，我们大致可以认为哥德尔的第一种意义上的分析判断与弗雷格的是相同的，即只包括纯逻辑的(或更具体地说是一阶逻辑)定理或有效式“。康德对分析判断的界定字面上更类似哥德尔的第二种意义。

二、类型论与可构成集

罗素在1901年发现了著名的罗素悖论，并于1902年在与弗雷格的通信(Rllssell，1902)中提出了他的发现。
弗雷格在其从逻辑推出数学的工作中是在十分宽松的意义上使用“概念”、“性质”、“类”等术语的，把“类”作为可操作的对象。例如，他将某个概念A的数定义为“与A等数”这一概念的外延;其中概念A与概念B等数定义为:存在A下对象与B下对象的一一关系。0定义为“与自身不等”这个概念的数;定义1为概念“等于0”的数。................
罗素关于决定命题函项的种类的因素总结道:“函项的类型(type of afunction)由它的值的类型(type of its values)以及它的变项的类型(type of itsarguments)和数目所决定。”2在集合论或数论中，变项数目并不重要，因为多个变项总可以“压缩”为一个变项，多(>1)元命题函项对叙述数学并不是必要的。“因此，后文中为简化起见，如非特别注明，我们将只考虑一元命题函项。现在还剩下命题函项的值的类型和其变项的类型(即意义域)是决定命题函项种类的因素。罗素依据这两个参数进一步拆分了命题函项的类型。但作者认为，关于所有较低类型(不限于一个类型)对象的谓述是必要的且不会引发悖论，虽然类型论将意义域限为一个类型，但我们仍可以找到变通的方式。例如，一个3阶命题函项希望其意义域包含1, 2阶命题函项，我们只需要取第3类型作为其意义域，因为对任意1阶函项我们总可以找到等价的意义域为诸个体的2阶函项。“而如果把意义域为第二类型的2阶函项与意义域为第一类型的2二阶函项划分为不同的类型，上述补救也将成为不可能。因此作者将这里的type理解为对已区分不同类型的命题函项(定义2.5)进一步区分为不同的种类，这一区分不再形成独立的意义域。 定义2.7一个命题函项是直谓的(predicative)当且仅当它是n阶命题函项并且它的变项的意义域是第n类型。
根据定义2.4和2.5，命题函项的阶是由其值的类型决定的。因此一个命题函项是否是直谓的，取决于它的值的类型及其变项的取值类型(即其意义域)。我们可以扩展直谓的定义:定义2.8一个命题函项是跨，;阶谓述的，当且仅当它的意义域是第m类型并且它是。m+n阶命题函项。..................
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目录
中文摘要..................................................................1
英文摘要..................................................................1
引言........................................................................1
一、康德与哥德尔对数学真的客观性的看法.................2
1.1一些术语辨析......................................................2
1.2数学真命题的获得...............................................6
1.3数学真的客观性界限............................................8
1.4数学基础研究发展的影响......................................9
二、类型论与可构成集..............................................11
2.1分枝类型论........................................................11
2.2从类型谱系到可构成集类.....................................16
2.3分枝类型论与L的哲学背景...................................24
三、哲学与具体学科研究实践关系管窥......................29
参考文献................................................................45

结束；
正如第一章的结论所揭示的，具体学科领域一系列的进展会对解释这一学科领域的哲学造成现实的影响。尽管顽固的康德信徒可以拒绝康德之后一切涉及无穷的数学领域的进展的合法性，从而维护康德对客观的数学真的界定。但是更多的人在思考相关问题的时候会注意这些己有的成果，试图解释它们的合理性或者小心地绕过。而这多少会在使他们最终得出的结论发生变化。正如哥德尔在解释数学真的客观性时，希望顾及康德之后集合论等数理逻辑领域的新进展，因此不得不弱化客观性的意义以使那些关于无穷的命题也可以得到相同的辩护。毕达哥拉斯派的虔诚教众可以把希帕苏斯(Hippasus of Metapontum)投入大海，但是无理数的出现终究还是让信奉任何几何对象必被一个数(自然数或自然数之比)所度量的毕达哥拉斯派走向瓦解。‘
反过来，不同的哲学理念虽然只能造成对数学的不同理解而不能造成不同的数学，但哲学立场确实会影响到人们对逻辑学、数学等具体学科的研究实践。本文的第二章就具体分析了这样一个案例。构造主义的想法帮助罗素发明了分枝类型论但也禁锢了将这些方法推广至任意序数阶的可能，而持实在主义的哥德尔则无所顾忌地推广了罗素的工作，证明了连续统假设的一致性。.....
历史上类似的例子还有很多。虽然，我们很难找到哲学理论与逻辑学、数学等具体学科理论之间的必然联系，但我们通过对一些历史片断的分析不难发现哲学思想对具体学科的研究、具体学科的研究成果对哲学思辨都有着现实的影响。
这是本文的结论。对这种相互影响的现象做经验的研究，归纳其中的规律，或许有助于我们未来在哲学领域和逻辑学、数学等学科领域的研究实践。这是作者尚未完成的写作初衷。

参考文献
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