第一章 绪论
第一节 研究背景及意义
一、 研究背景
随着时代发展，社会进步，中国已经进入了一个全新的时代，人们的资金也越来越充足，在满足日常消费之余，如何将积累资金进行有效增值，成为人们关注的重点。近年来，我国金融市场上的各类金融产品发展迅猛。其中，期权就其独特的金融魅力，逐渐吸引着人们的目光，在金融衍生产品市场的地位日益增强。探寻更准确的期权定价方式以及发现更多样的期权产品一直是各类学者不断投入精力去研究的学术领域，而随着我国多样化金融市场的成熟发展这种研究需求日益强烈。不仅如此，对于金融市场本身而言，完备的期权定价体系对于，激发金融市场活力有着无法比拟的作用。而在各类期权中，由以将投资收益与股票或股票指数的表现联系起来的期权最为兴盛，股权关联的产品对中国投资者尤其具有吸引力，因为股票是他们最熟悉的资产，同时与去除具有下跌风险后的基础股票挂钩的期权通常为投资者提供较稳定且相对较丰厚的利润。随着中国金融市场的极速发展，场外交易日渐活跃，各式各样的金融衍生品也日益增多，交易规模也逐步增加。随着上证50ETF 期权于 3 年多前在上海证券交易所的上市，表明了我国对于打开金融衍生品市场新局面的决心，随后又有如白糖期权、豆粕期权和铜期权等期权陆陆续续地上市，都体现了我国多元化金融的战略发展方向。然而实际上来说，我国的金融衍生品市场还处于蹒跚学步的初级阶段，还有许多的未知领域值得我们去探索。
二、 研究意义
从现实意义上来讲，期权因其独特的如化解价格极端波动风险等特性使其在金融市场中有着极其重要的作用，期权机制是否完善一直是标志着某国金融市场是否健全的一个不可或缺的重要依据，而随着中国金融衍生品市场的进步对拥有健全的期权机制的期望日益强烈。不仅如此，对于金融市场本身而言，发展期权对于完善价格发现功能，激发金融市场活力有着无法比拟的作用。因此，对于期权的定价研究从微观上讲影响各类投资者的投资策略，从宏观上讲影响整个国家的金融发展。更重要的是，50ETF 期权的成功上市表明我国金融市场正走向逐步完善的阶段，这更使得社会各界增加了对于期权定价的精确性的期待。因此，建立更成熟的期权定价模型迫在眉睫，也能够为激发金融市场活力做出力所能及的贡献。
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第二节 文献综述
对于期权定价的研究，最早是在 1900 年，当时法国的金融学家 Louis Bachelier就运用布朗运动推导出了期权定价公式。随后关于期权定价方面的研究受到了越来越多的学者的关注，然而当时的研究都以特定的经济计量模型为主。直到 1973年，Black 和 Scholes 撰写了《期权和公司债务的定价》一书，在文中提出了无套利的均衡期权定价模型，得出了著名的期权定价公式——BS 公式，但其需要满足几个重要的假设条件：收益率服从对数正态分布；无风险利率和波动率为常数；交易市场不存在税收和交易成本；期权到期前不能执行。Rubinstein（1985）、Cao 和Chen(1997)等学者通过实证证明 BS 模型假设的严苛性使其无法解释一些实证现象:(1)股价存在随机跳跃现象(2)隐含波动率并非为常数(3)标的资产收益分布并非呈正态分布。为了弥补传统 BS 模型的缺陷，不少学者们提出了修正模型。
针对 BS 模型无法解释的基础资产价格可能存在的随机跳跃问题，Merton(1976)在传统的 BS 模型中加入了随机跳跃项，首次提出了跳扩散模型。Duffie 等（2000）提出了仿射跳扩散模型，Eraker（2001）则是加入了单指数分布以描述跳跃部分，Kou(2002)用双指数分布描述跳跃部分，Kou 和 Cai(2007)在双指数描述跳跃部分的基础上推出了超指数跳模型。然而这些模型考虑的跳跃部分在其跳跃频率与幅度上都有一定的局限性。而 Madan 和 Seneta(1990)、Carr, Madan 和 Chang(1998)提出了较广义的跳跃模型——Variance Gamma 模型，该模型在一定时间内可以存在无穷的跳跃。Madan 和 Milne(1991),奚炜（2004），杜立金（2007）等都利用 VG 模型进行期权定价研究。随后 Madan 和 Carr（2002）又提出了一般形式的指数 levy 过程模型。Kallsen（2000）、Carr 和 wu（2004）、Martin(2004)以及孔亮和张启文等都基于 levy 过程构建了新的期权模型框架研究了定价问题，周艳丽（2016）等将跳扩散过程和随机波动率应用于实物期权评估方法中，邓国和（2017）研究了双跳跃仿射扩散模型，刘志东（2016）等人、吴鑫育（2017）等人研究了基于跳扩散模型的期权定价方法在中国市场中的应用。另一种跳跃模型是由 Barndorff (1998)提出的 NIG 过程，该模型也包含着无穷跳跃过程。Eberlein(1998)、Duffie 和 Pan(2000)、Fajardo 和 Farias(2010)等都对 NIG 过程都进行了研究。
针对现实市场中波动率和利率不为固定常数这个问题，Hull 和 White(1987)认为仅用跳扩散描述标的资产仍完全符合实际，因在实际市场中存在一些突发状况会使得参数发生变化，因此他们将随机波动率引入模型；随后，Stein(1991)也在定价模型中考虑了随机波动率的情况；Heston(1993)提出的带仿射随机波动率的平方根模型，奠定了仿射跳扩散的理论基础。Johannes（1996）、Paul，Glasserman 和Kou(2003)、Boetal(2010)、黄杰翔（2014）以及邓国和（2015）等研究了带跳扩散的随机利率模型，吴鑫育(2013)等研究了非仿射随机波动率模型的期权定价问题，Svetlana 等（2017 年）研究了随机利率下利维模型中障碍期权和信用违约互换的有效定价，Bates(1996)，Pillay 和 O’Hara(2011)研究了带跳的随机波动率模型，Gong和 Zhuang(2016)在期权定价中考虑了 levy 波动率和 levy 跳过程，Scott(1997)、Espinosa 和 Vives(2006)、Jiang（2002）、陈旭（2007）、张素梅(2013)、Roslan T R N（2016）以及 Boyarchenko S（2017）等都在模型中结合了随机利率、随机波动率和跳扩散部分。
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第二章 一般仿射跳扩散模型的理论基础
第一节 一般仿射跳扩散基本概念
一、 一般仿射过程
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第二节 风险中性定价理论
一、 风险中性定价理论概述
风险中性定价原理是衍生证券定价中的一个重要的原理。所谓的风险中性定价原理是指为简化期权定价工作而做出的大胆假设，即假设在进行理财产品选择时，所有人对于标的资产的风险偏好是中性的，则依赖于金融市场某一产品的价格的衍生证券的价格与人们的态度无关。则在此假设下，投资者无需额外收益来弥补其所承受的风险，所有产品的预期收益率就等于无风险利率。
事实上，这一假设从 B-S 期权定价模型的推导中得出的。在 B-S 偏微分方程中，人们发现衍生证券价格的决定变量都为诸如标的资产市价、存续期和标的资产价格波动率等客观变量，与风险收益偏好这一主观变量无关。因此可以假设，在对衍生证券定价时，所有人对于标的资产的风险偏好是中性的。
风险中性定价思想在金融学发展中具有深刻的影响，其消除了在衍生品证券的定价中难以度量的主观风险收益偏好这个变量，因此风险中性定价原理成为现代金融工程的灵魂。值得注意的是：首先，该想法是从 B-S 期权定价模型的推导过程中得出的，而该模型的前提是无套利定价原理，因此风险中性定价原理与无套利定价原理一脉相承。其次，风险中性定价这一假设对定价结论不会产生影响，可以推广至市场中的所有衍生证券。
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第一节 风险中性定价理论 ......................................... 17
第二节 稳健的 Fourier-Cos 期权定价方法 ........................... 19
第四章 数值模拟 ................................... 27
第一节 阻尼因子和截断范围 ....................... 28
第二节 稳健 Cos 方法的精度、效率和稳健性 ......................... 29
第五章 参数估计 ................................ 33
第一节 参数估计方法介绍 ......................................... 33
第二节 几种模型参数估计及拟合优度分析 ........................... 35
第五章 参数估计
第一节 参数估计方法介绍
对于参数模型，需要从历史数据中估计参数。模型参数估计的方法有很多种，传统的经济计量方法包括最大似然估计或广义矩法都可以应用于模型的参数估计。但是，在对期权定价模型进行参数估计时，这些方法不太实用，因为这些模型都是基于标的资产在中性测度下的分布，对其进行抽样，以高概率寻找符合观察数据的参数。因此这些模型对历史数据提出了严格的要求，事实上，这些期权定价模型都是在风险中性测度下进行期权定价，因此，在历史数据的风险波动是随机的情况下，用经典的经济计量方法估计的参数是不准确的。
因此本文采用另一种参数估计方法——隐含参数法。该方法是直接根据市场中的期权价格来寻找隐含的参数。使用该方法不仅大大减少了对历史数据的要求，而且增强了模型的性能。
使用隐含参数法对具有期权的市场价格的模型进行校准的过程如下:
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第六章 本文的结论与建议
本文首先介绍了一般仿射跳扩散模型，其中主要介绍了 Merton 跳扩散模型、Bates 随机利率跳扩散模型、Kou 双指数跳扩散模型和 CGMY 模型。然后基于稳健的 Fourier-cos 方法利用这些模型进行期权定价，先给出模型的衍生证券定价特征函数，然后利用 Fourier-cos 方法对定价模型进行求解，求出数值解。从几种定价方法在 CPU 计算几类期权模型的时间中可以看出，相较于其他几种方法，快速Fourier-Cos 方法在计算时速度更快。对比几种模型用稳健 Cos 方法计算出的期权价格的绝对误差，可以看出 Merton 模型、Kou 模型和 CGMY 模型使用稳健 Cos 方法计算出的期权价格都有较高的精确度，特别是 Merton 模型效果最好。但是对于Bates 模型使用稳健 Cos 方法估计效果不尽如人意。
经过数值检验，我们发现使用稳健 Cos 方法当α ∈ 1.0001，1.2 时对于所有情况期权价值都是稳定的，而除了当标的资产的概率密度函数具有厚尾性时，在大部分情况下，∈ 6，18 是合理的。在厚尾的情况下，当 ∈ 17，25 时，期权价格是稳定的。对于不同的 T 值这些结果都是稳健的。对于效率的比较，使用 4 种 Cos方法对几类模型进行期权定价，稳健 Cos 方法的误差收敛基本优于期权平价公式Cos 方法，同时误差收敛结果基本不会随着 T 的改变而改变。考虑稳健 Cos 方法的稳健性，发现几种 Cos 方法都具有较好的稳健性。
最后使用隐含参数法对于模型进行参数估计，对比拟合误差结果我们发现，隐含参数法对于几种模型的参数估计稳定性都不错。