引 言
随着社会不断发展，教育越来越受到人们重视，研究教育问题的方法也不断涌现，这里就论文的一些基本概念、研究的方法和文章所要论述的主要内容做一个总体概括。
1.1教育创新反应扩散的基本概念
1.1.1本课题研究的目的和意义
随着教育改革开放的不断深入发展，涌现出诸如“问题驱动式”[1]“数字化资源分层次法”[2]等创新教育，其目的在于提高“质量工程”。“教育创新，即为实现一定的教育目标，在教育领域进行的创新活动。教育创新的内容十分广泛，包括教育体系、教育结构、教育观念、教育方法、教育手段、课程教材以至教育的时间和空间等。”创新过程是指，创新在社会系统成员之间通过一定的渠道随时间传播的过程[(3]。创新教育随着环境具有传播、反应、扩散效应。而这里的教育创新扩散，应定义为创新以一定方式随时间在教育系统各个成员之间进行传播的过程。它由创新、传播渠道、时间、教育系统共同组成，而创新教育的扩散程度和效应与环境之间有着密切的联系。因此，大量教育创新模式的涌现，成为了历史必然。
新教育模式加入到教育系统中，就必然会与旧的教育模式发生融合与碰撞，其融合、碰撞后的结果可能是两者在一定条件下形成互补关系，互相取长补短使教育效果达到最好;或是发生一种教育扩散影响到另一方受教育者份额的竞争关系;亦或是一种教育模式在环境制约下被另一种教育模式所替代的替代关系。由于扩散过程与环境关系密切，所以应在充分考虑教育与环境之间的相互关系的基础上，建立几种具有代表性的教育创新扩散模型，并通过对所建立模型的分析，来寻求教育与环境之间的最佳协调状态。
1.1.2国内外本课题微分方程模型的研究动态
用微分方程模型来描述反应扩散过程的动态变化在如今的学术界并不罕见，它所涉及到的领域不但包括自然界的生物种群关系[[s]、人地关系[[6]等，也涵盖了技术创新产品创新、企业竞争[9]等一些工程技术领域和金融领域。
最初，英国人Malthus于18世纪末在研究了人口统计资料后[10]，提出了如下假设:在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增量与人口总数成正比。并得出了著名的Malthus人口模型:
dN —“rN，r>U dt N(to)=No (1一1) 其中N。为t =t。时的人口总数，N(t)为时刻t的人口数量，:为比例系数。此模型用于短期人口估算有较好的近似程度，但是，当t-}+}时，N(t) 没有反映出自然资源对群体自然增长率的影响，可见它不能用于长期人口预报。
于是在1837年，荷兰生物学家弗胡斯特(Verhulst)引入常数NmaX，用来表示自然 资源和环境条件下所能容许的最大人口数量，并将原有的Malthus人口模型修正为:
，r>U dt‘Nm’(1-2) N(to)=No此模型即为一百多年来被广泛应用的Logistic模型。虽然此模型较之Malthus模型已有较大改进，但是也存在缺陷。例如，没有考虑生物的性别差异，而把生育率平均到每个个体，同时，自然增长率犷和环境最大容许量N},a、数值的确定与很多因素有关，所以也为Logisti。模型的应用带来一定困难。
20世纪20年代以后，由于生物物理学的发展，使数学在生物学中的应用不再只局限于静态现象，也开始描述一些复杂的过程，所以许多微分方程模型被带入到生物学领域。到了20世纪20年代中期，意大利生物学家Umberto D' Ancona研究了相互制约的各种鱼类群体的变化情况，在研究过程中，他偶然注意到了第一次世界大战期间，地中海的鳖鱼被捕获的百分比惊人地上升这一奇怪现象，于是在求助了意大利著名数学家Vito Volterra后，与另一位数学生态学先驱者A.J.Lotka各自建立了Lotka-Volterra捕食与被捕食数学模型。一x(。一by ) :，(一c+dx} (1一3)其中。，b,。，d是正常数。x, y为食饵和捕食者在时刻t的数。为食饵生存的增长率，c为捕食者离开食饵由于不能独立生存的死亡率，b为捕食者的掠食能力，d为食饵对捕食者的供养能力。
参考文献
[1]马惠玲。“问题驱动式”教学中的问题设计浅探[[J].长春:考试周刊.2009, (22): 68-70页
[2]刘德刁一数学分层教学法的实践探索[J].济南:《新校园(理论版)》新校园杂志社，2009, (0l): 54-54页
[3]卢芳.高速铁路技术创新扩散效益研究[D].北京交通大学硕士学位论文，2008: 3-14页.刘超，王君祥，宋海荣.创新扩散模型的研究综述川.科技管理研究.2007, (05):125一127页
[5]张齐鹏，杨国增.两种群竞争模型正平衡点的全局稳定性[[J].南阳师范学院学报.2009, 8(3): 22-23页
[6]王建华等.人地关系的系统动力学模型研究[[J].系统工程理论与实践.2003, 23(1):128-131页
[7]董景荣，周洪力.分析技术创新扩散过程的事件扩散新模型[[J].科技进步与对策.2008, 25(3):29-32页
[8]胡知能.创新产品市场扩散模型及其应用[C].四川大学博士学位论文，2005: 37-45页
[9]周浩.企业集群的共生模型及稳定性分析[[J].系统工程.2003, 21(4): 32-37页
[10]林宗振等.关于Malthus方程和Logistic方程的统一表达式[[J].生物数学学报.1994, (01): 40-47页
摘要 5-6
Abstract 6-7
第1章 绪论 11-15
1.1 教育创新反应扩散的基本概念 11-13
1.1.1 本课题研究的目的和意义 11
1.1.2 国内外本课题微分方程模型的研究动态 11-13
1.2 教育创新扩散的研究方法 13-14
1.3 本论文的主要研究内容 14-15
1.3.1 基于微分方程建模法研究教育创新反应扩散模型 14
1.3.2 基于微分方程建模法研究其他领域的反应扩散模型 14-15
第2章 微分方程稳定性理论简介 15-19
2.1 一阶微分方程的平衡点及稳定性 15-16
2.2 二阶微分方程(平面)的平衡点及稳定性 16-18
2.3 本章小结 18-19
第3章 模型建立 19-40
3.1 单一创新型 19-21
3.2 教育互补型 21-25
3.2.1 模型的建立 21-24
3.2.2 模型分析 24
3.2.3 案例分析 24-25
3.3 教育竞争型 25-33
3.3.1 模型的建立 25-33
3.3.2 模型分析 33
3.4 教育替代型 33-39
3.4.1 模型的建立 33-38
3.4.2 模型分析 38-39
3.5 本章小结 39-40
第4章 教育创新扩散模型的推广 40-57
4.1 教育扩散模型推广到生物种群领域 40-43
4.1.1 种群生态学简介 40
4.1.2 单一种群的模型 40-41
4.1.3 种群的相互竞争 41
4.1.4 种群的相互依存 41-42
4.1.5 种群的弱肉强食 42-43
4.1.6 结论 43
4.2 教育扩散模型推广到技术创新领域 43-45
4.2.1 单技术创新扩散模型 43-44
4.2.2 技术竞争型 44
4.2.3 技术互补型 44
4.2.4 技术替代型 44-45
4.2.5 结论 45
4.3 教育扩散模型推广到产品创新领域 45-48
4.3.1 产品竞争型 45-46
4.3.2 产品替代型 46-47
4.3.3 产品互补型 47
4.3.4 结论 47-48
4.4 教育扩散模型推广到人地关系领域 48-56
4.4.1 冲突模型 48-52
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第5章 本课题研究结论和创新点以及不足 57-62
5.1 对教育扩散模型的分析 57-58
5.1.1 对教育互补型的分析 57
5.1.2 对教育竞争型的分析 57-58
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5.2 对其他扩散模型的分析 58-60
5.2.1 对互补模型的分析 58-59
5.2.2 对竞争模型的分析 59
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5.3 创新点 60-61
5.4 有待改进之处 61
5.5 本章小结 61-62
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